2012年4月
绵阳南中学2012年春季高2013级半期考试
数 学 试 题（理科）

第I卷（ 共48分）
一、：本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知向量 ＝（1，1，0）， ＝（－1， 0，2），且 ＋ 与2 － 互相垂直，则 的值是（ ）
A．1 B． C． D．
2、函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是（ ）
A.（-∞，2） B.（0,3）
C.（1,4） D.（2，+∞）
3、若正四棱柱 的底面边长为1， 与底面 成60°角，则 到底面 的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
4、如图，函数 的图象在点P处的切线方程是 ，则 （ ）
A．2 B． C．12 D．0
5、 是虚数单位，已知复数 ，则复数Z对应点落在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6、已知空间四边形 ，其对角线为 ， 分别是边 的中点，点 在线段 上，且使 ，用向量 表示向量 是 （ ）
A． B．
C． D．
7、给出定义：若函数 在D上可导，即 存在，且导函数 在D上也可导，则称 在D上存在二阶导函数，记 = ，若 ＜0在D上恒成立，则称 在D上为凸函数，以下四个函数在 上不是凸函数的是（ ）
A. = B. =
C. = D. =
8、给出的下列不等式中，不成立的是（ ）
A． B.
C. D.
9、2008年北京奥运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五 名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 ( )
A. 48种 B. 36种 C. 18种 D. 12种
10、曲线 上 的点到直线 的最短距离是 （ ）
A． B． C． D．0
11、若函数 上不是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D ．不存在这样的实数k
12、已知函数 的定义域为 ，部分对应值如下表， 的导函数 的图像如 图所示．下列命题中，真命题的个数为 （ ）．
第12题图
① 函数 是周期函数；② 函数 在 是减函数；③ 如果当 时， 的最大值是 ，那么 的最大值为 ；④ 当 时，函数 有 个零点，其中真命题的个数是 （ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
第II卷（非选择题 共52分）
二、题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填在答题卷的相应位置。
13、函数 , 的最大值为
14、如图， 是直三棱柱， ，点 、 分别是 ， 的中点，若 ，则 与 所成角的余弦值为
15、设 是偶函数，若曲线 在点 处的切线的斜率为1，则该曲线在点 处的切线的斜率为
16、给出下列命题：
①某校开设A类选修3门 ，B类选修 4门，一位同学从中共选3门，若要求两类程中各至少选一门，则不同的选法共有60种；
②对于任意实数x，有 则
③已知点 在平面 内，并且对空间任一点 ， ，则 的值为1；
④在正三棱柱 中，若 ， ，则点 到平面 的距离为 ，其中正确命题的序号是
三、解答题：本大题共4小题，共40分。解答应写出字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卷上的指定区域内。
17、（本题满分10分）已知正方体ABCD－A1B1C1D1，
O是底面ABCD对角线的交点.
（1）求证：A1C⊥平面AB1D1；
（2）求 。
18、（本题满分10分）已知函数 ,曲线 在点 处的切线为 ，若 时， 有极值.
（1）求 的值；
（2）求 在 上的最大值和最小值.
19、（本题满分10分）已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是
边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，
E，F分别为棱BC、AD的中点.
（1）求证：DE∥平面PFB；
（2）已知二面角P-BF-C的余弦值为 ，
求四棱锥P-ABCD的体积.
20、（本题满分10分）已知函数 ， ，其中 ．
（1）若 是函数 的极值点，求实数 的值；
（2）若对任意的 （ 为自然对数的底数）都有 ≥ 成立，求实数 的取值范围．

绵阳南中学2012年春季高2013级半期考试数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：
CDDAB ABDBC AD
二、题：
(13) (14) (15) -1 (16)②④
三、解答题
17证明：（1） 面 1分
又 ， 2分
3分
同理可证 ， 4分
又
面 5分
（2）法1:建系求解，求出平面的法向量得7分，直线AC的向量得8分，求出正确结果的得10分；
法2：直线AC与平面 所成的角实际上就是正四面体ACB1D1的一条棱与一个面所成的角，
余弦值为 ，从而正切值为 。
法3：直线AC与平面 所成 的角实际上就是直线AC 与平面 所成的角
法2、法3指出线面角得8分，计算出正确结果得10分
18、解：（1）由 得， 1分
当 时，切线 的斜率为3，可得 ① 2分
当 时， 有极值，得 3分
可得 ②
由①②解得 4分
由于切点的横坐标为 ∴
∴
∴ 5分
（2）由（1）可得
∴ 6分
令 ，得 ， 7分
当 变化时 ， 的取值及变化如下表：
真确列出表得 9分

4
∴ y=f(x)在[-3，1]上的最大值为13，最小值为 10分
19、解：（Ⅰ）因为E，F分别为正方形ABCD的两边BC，AD的中点，
所以 , 2分
所以， 为平行四边形, 3分
得 ， 4分
又因为 平面PFB，且 平面PFB,
所以DE∥平面PFB. 5分
（Ⅱ）如图，以D为原点，射线DA,DC,DP分
别为x,y,z轴建立空间直角坐标系. 6分
设PD=a,
可得如下点的坐标：
P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0)
则有 ：

因为PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的
一个法向量为 ， 7分
设平面PFB的一个法向量为 ，则可得

即
令x=1,得 ，所以 . 8分
由已知，二面角P-BF-C的余弦值为 ，所以得:
,
解得a =2. 9分
因为PD是四棱锥P -ABCD的高，
所以，其体积为 . 10分
20、解：∵ ，其定义域为 ，
∴ ． 1分
∵ 是函数 的极值点，∴ ， 2分
即 ． 3分
∵ ，∴ ． 4分
（2） 对任意的 都有 ≥ 成立等价于对任意的
都有 ≥ ． 5分
当 ［1， ］时， ．
∴函数 在 上是增函数．
∴ ． 6分
∵ ，且 ， ．
①当 且 ［1， ］时， ，
∴函数 在［1， ］上是增函数，
∴ . 7分
由 ≥ ，得 ≥ ，
又 ，∴ 不合题意．
②当1≤ ≤ 时，
若1≤ ＜ ，则 ，
若 ＜ ≤ ，则 ．
∴函数 在 上是减函数，在 上是增函数．
∴ .
由 ≥ ，得 ≥ ，
又1 ≤ ≤ ，∴ ≤ ≤ ． 8分
③当 且 ［1， ］时， ，
∴函数 在 上是减函数．∴ .
由 ≥ ，得 ≥ ，
又 ，∴ ． 9分
综上所述， 的取值范围为 ． 10分

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