23.函数的极值与最值
一、前准备：
【自主梳理】
1．若函数f(x)在点x0的附近恒有 (或 )，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x0为极大值点（或极小值点）．
2．求可导函数极值的步骤：
①求导数 ；
②求方程 的根；
③检验 在方程 根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得极 值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得极 值．
3．求可导函数最大值与最小值的步骤：
①求y=f(x)在[a,b]内的极值；
②将y=f(x)在各极值点的极值与f（a）、f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。
【自我检测】
1．函数 的极大值为 ．
2．函数 在 上的最大值为 ．
3．若函数 既有极大值又有极小值，则 的取值范围为 ．
4．已知函数 ，若对任意 都有 ，则 的取值范围是 ．
（说明：以上内容学生自主完成，原则上教师堂不讲）

二、堂活动：
【例1】填空题：
（1）函数 的极小值是__________．
（2）函数 在区间 上的最小值是________ ；最大值是__________．
（3）若函数 在 处取极值，则实数 = _．
（4）已知函数 在 时有极值0，则 = _．

【例2】设函数 ．
（Ⅰ）求 的最小值 ；
（Ⅱ）若 对 恒成立，求实数 的取值范围．

【例3】如图6所示，等腰 的底边 ，高 ，点 是线段 上异于点 的动点，点 在 边上，且 ，现沿 将 折起到 的位置，使 ，记 ， 表示四棱锥 的体积．
（1）求 的表达式；
（2）当 为何值时， 取得最大值？

堂小结
三、后作业
1．若 没有极值，则 的取值范围为 .?
2．如图是 导数的图象，对于下列四个判断：?
① 在［-2，-1］上是增函数；?
② 是 的极小值点；?
③ 在［-1，2］上是增函数，在［2，4］上是减函数；?
④ 是 的极小值点.?
其中判断正确的是 .?
3．若函数 在（0，1）内有极小值，则 的取值范围为 ．
4．函数 ,在x=1时有极值10，则 的值为 ．
5．下列关于函数 的判断正确的是 ．
①f(x)>0的解集是{x0<x<2};?
②f(- )是极小值，f( )是极大值；?
③f(x)没有最小值，也没有最大值.?
6．设函数 在 处取得极值，则 的值为 ．
7．已知函数 （ 为常数且 ）有极值9，则 的值为 ．
8．若函数 在 上的最大值为 ，则 的值为 ．

9．设函数 在 及 时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对于任意的 ，都有 成立，求c的取值范围．

10．已知函数 ,求函数在［1，2］上的最大值.

四、纠错分析
错题卡题 号错 题 原 因 分 析

参考答案：
【自我检测】
1．7 2． 3． 4．
例1：（1）0 （2）1， （3）3 （4）11

例2：解：（Ⅰ） ，
当 时， 取最小值 ，
即 ．
（Ⅱ）令 ，
由 得 ， （不合题意，舍去）．
当 变化时 ， 的变化情况如下表：

递增极大值
递减
在 内有最大值 ．
在 内恒成立等价于 在 内恒成立，
即等价于 ，
所以 的取值范围为 ．

例3：解：（1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC， ，
V(x)= （ ）
（2） ，所以 时， ，V(x)单调递增； 时 ，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值 ；

后作业
1．［-1，2］ 2．②③ 3．0<b<1 4．a=-4,b=11
5．?①② 6．1 7．2 8．
9．解：（Ⅰ） ，
因为函数 在 及 取得极值，则有 ， ．
即
解得 ， ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，
．
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
所以，当 时， 取得极大值 ，又 ， ．
则当 时， 的最大值为 ．
因为对于任意的 ，有 恒成立，
所以　 ，
解得　 或 ，
因此 的取值范围为 ．

10．解： ∵ ，∴
令 ,即 ,得 .?
∴f(x)在（-∞,0), 上是减函数，在 上是增函数.?
①当 ,即 时, 在（1，2）上是减函数,?∴ .
②当 ,即 时, 在 上是减函数,
?∴ .
③当 ,即 时, 在 上是增函数,?
∴ .
综上所述，当 时， 的最大值为 ,?
当 时， 的最大值为 ,
当 时， 的最大值为 ．

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