永泰城关中学2011—2012学年下学期高二月考
数 学 （科） 试 卷
满分150分 考试时间120分钟 考试日期：2012.3.16
参考公式：(1) =n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ，其中n=a+b+c+d为样本量
(2)线性回归：①相关系数
② = ，
附表

一、：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．根据偶函数定义可推得“函数 在 上是偶函数”的推理过程是( )
A.归纳推理 B.类比推理 C.演绎推理 D.非以上答案
3．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，用的是（　　）
Ａ．归纳推理Ｂ．演绎推理Ｃ．类比推理Ｄ．其它推理
5. 在线性回归模型 中，下列说法正确的是 （ ）
A． 是一次函数
B．因变量 是由自变量 唯一确定的
C．随机误差 是由于计算不准确造成的，可以通过精确计算避免随机误差e的产生
D．因变量 除了受自变量 的影响外，可能还受到其它因素的影响，这些因素会导致随机误差 的产生
6. 类比“等差数列的定义”给出一个新数列“等和数列的定义”是（　　）
Ａ．连续两项的和相等的数列叫等和数列
Ｂ．从第二项起，以后每一项与前一项的差都不相等的数列叫等和数列
Ｃ．从第二项起，以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等和数列
Ｄ．从第一项起，以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等和数列
7．在建立两个变量 与 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，他们的相关指数 如下，其中拟合的最好的模型是（ ）
A．模型1的相关指数 为 B．模型2的相关指数 为
C．模型3的相关指数 为 D．模型4的相关指数 为
8.图中所示的是一个算法的流程图．
已知 ，输出的结果为 ，
则 的值为（ ）
A．
B．

9．“复数 为纯虚数”是“ ”的（　 　）
A．充分条件，但不是必要条件 B．必要条件，但不是充分条件
C．充要条件 D．既不是充分也不是必要条件
10.已知 满足 且 ,则下列选项中一定成立的是( )
A. B. C. D.
11. 如右图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的箭头表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。现从结点A向结点G传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递。则单位时间内传递的最大信息量为（ ）
A．31 B．14 C．10 D．6

12．已知数列 满足 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．

二、题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填在题中横线上.
13. 若复数 为纯虚数，则实数 ____________．
14. 现有爬行、哺乳、飞行三类动物，其中蛇、地龟属于爬行动物；狼、狗属于哺乳动物；鹰、长尾雀属于飞行动物，请你把下列结构图补充完整．

15. 用演绎法证明 在区间 为增函数时的大前提是　　 ．
16．在平面，到一条直线的距离等于定长（为正数）的点的集合是与该直线平行的两条直线．这一结论推广到空间则为：在空间，到一个平面的距离等于定长的点的集合是　　

三、解答题：本大题共6小题,共74分. 解答应写出字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分12分)
在关于人体脂肪含量 （百分比）和年龄 关系的研究中，得到如下一组数据

年龄
232739414550
脂肪含量
9.517.821.225.927.528.2

（Ⅰ）画出散点图，判断 与 是否具有相关关系；
（Ⅱ）通过计算可知 ，请写出 对 的回归直线方程，并计算出 岁和 岁的残差.

18 (本小题满分12分)
求证： ．

19.在数列{an}中， ，试猜想这个数列的通项公式。
20在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了 人，其中女性 人，男性 人．女性中有 人主要的休闲方式是看电视，另外 人主要的休闲方式是运动；男性中有 人主要的休闲方式是看电视，另外 人主要的休闲方式是运动．
（1）根据以上数据建立一个 的列联表；
（2）判断性别与休闲方式是否有关系．
19 (本小题满分12分)
已知函数 是 上的增函数， ， ．
（Ⅰ）若 ，求证： ；
（Ⅱ）判断（Ⅰ）中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．

22. (本小题满分14分)
数列 满足 ， （ ）， 是常数．
（Ⅰ）当 时，求 及 的值；
（Ⅱ）数列 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由．

永泰城关中学2011—2012学年下学期高二月考
数 学 （科） 试 卷
参考答案
一、（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1．B 2．C 3．D 4．C 5．D 6．C
7．A 8．C 9．A 10．A 11．D 12．B
二、题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13.
14.

15. 增函数的定义
16. 与该平面平行的两个平面
三、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）涉及两个变量，年龄与脂肪含量．
因此选取年龄为自变量 ，脂肪含量为因变量 ．
作散点图，从图中可看出 与 具有相关关系．
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
（Ⅱ） 对 的回归直线方程为
．
当 时， ， ．
当 时， ， ．
所以 岁和 岁的残差分别为 和 .
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
18 (本小题满分12分)
证明：由于 ， ，
所以只需证明 ．
展开得 ，即 ．
所以只需证 ．
因为 显然成立，
所以 ．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
19.
20.（1） 的列联表：

性别 休闲方式
看电视运动总计
女452570
男203050
总计6555120

性别 休闲方式
看电视运动总计
女452570
男203050
总计6555120

………6分
（2）假设“休闲方式与性别无关” ………7分
计算 ………10分
因为 ，而 ， ………11分
所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的。
即有 的把握认为“休闲方式与性别有关”。……12分

21. (本小题满分12分)
证明：（Ⅰ）因为 ，所以 ．
由于函数 是 上的增函数，
所以 ．
同理， ．
两式相加，得 ．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
（Ⅱ）逆命题：
若 ，则 ．
用反证法证明
假设 ，那么

所以 ．
这与 矛盾．故只有 ，逆命题得证．
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
22(本小题满分14分)
解：（Ⅰ）由于 ，且 ．
所以当 时，得 ，故 ．
从而 ．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
（Ⅱ）数列 不可能为等差数列，证明如下：
由 ， 得
， ， ．
若存在 ，使 为等差数列，则 ，
即 ，解得 ．
于是 ， ．
这与 为等差数列矛盾．所以，对任意 ，数列 都不可能是等差数列．
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14分

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