25 对数函数的导数及应用
一、前准备：
【自主梳理】
1． ， ．
2． ， ．
3．已知 ，则 ．
4．已知 ，则 ．
【自我检测】
1． 函数 的单调减区间为____ __．
2．直线 是曲线 的一条切线，则实数b＝ ．
3．曲线 上的点到直线 的最短距离是 ．
4．已知函数 ，则 在区间 上的最大值和最小值分别为
和 ．
5．已知函数 ， ．若函数 与 在区间 上均为增函数,则实数 的取值范围为 ．
二、堂活动：
【例1】题：
（1）函数 的单调递增区间是 ．
（2）点 是曲线 上任意一点,则点 到直线 的距离的最小值是 ．
（3）若函数 在定义域内是增函数，则实数 的取值范围是 ．
（4）已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为__________。
【例2】已知函数 ．
（Ⅰ）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求 的极值；
（Ⅲ）若函数 的图象与函数 的图象在区间 上有公共点，求实数 的取值范围．
【例3】已知函数 ．
(Ⅰ)若曲线 在 和 处的切线互相平行，求 的值；
(Ⅱ)求 的单调区间；
(Ⅲ)设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，求 的取值范围．
三、后作业
1．已知函数 ，则函数 的单调增区间为 ．
2．已知函数 的图象在点 （ 为自然对数的底数）处的切线斜率为3．则实数 的值为 ．
3．已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为 ．
4．已知函数f(x)=x2－x＋alnx，当 时， 恒成立，则实数 的取值范围为 ．
5．已知函数 且 ，其中 、 则m的值为 ．
6．若f（x）= 上是减函数，则b的取值范围是 ．
7．设函数 若直线l与函数 的图象都相切，且与函数 的图象相切于点 ，则实数p的值 ．
8．已知定义在正实数集上的函数 ， ，其中 ．设两曲线 ， 有公共点，且在该点处的切线相同，则用 可用 表示为_________．
9．已知函数 ．
(Ⅰ)若 ，求曲线 在 处切线的斜率；(Ⅱ)求 的单调区间；
（Ⅲ）设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，求 的取值范围．
10．设函数 （ ）， ．
(1) 若函数 图象上的点到直线 距离的最小值为 ，求 的值；
(2) 关于 的不等式 的解集中的整数恰有3个，求实数 的取值范围；
(3) 对于函数 与 定义域上的任意实数 ，若存在常数 ，使得 和 都成立，则称直线 为函数 与 的“分界线”．设 ， ，试探究 与 是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
四、纠错分析
错题卡题 号错 题 原 因 分 析
参考答案：
【自我检测】
1． 2．ln2－1 3． 4． 和 5．
二、堂活动：
【例1】（1） （2） （3） （4）
【例2】解：（Ⅰ） ∵ ，∴ 且 ．
又∵ ，∴ ．
∴ 在点 处的切线方程为： ，即 ．
（Ⅱ） 的定义域为 ， ， 令 得 ．当 时， ， 是增函数；当 时， ， 是减函数；∴ 在 处取得极大值，即 ．
（Ⅲ）（i）当 ，即 时，由（Ⅱ）知 在 上是增函数，在 上是减函数，∴当 时， 取得最大值，即 ．又当 时， ，当 时， ，当 时， ，所以， 的图像与 的图像在 上有公共点，等价于 ，解得 ，又因为 ，所以 ．
（ii）当 ，即 时， 在 上是增函数，∴ 在 上的最大值为 ，∴原问题等价于 ，解得 ，又∵ ∴无解．
综上， 的取值范围是 ．
【例3】解： ．
（Ⅰ） ，解得 ．
（Ⅱ） ．
①当 时， ， ， 在区间 上， ；在区间 上 ，
故 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ．
②当 时， ， 在区间 和 上， ；在区间 上 ，
故 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 ．
③当 时， ， 故 的单调递增区间是 ．
④当 时， ， 在区间 和 上， ；在区间 上 ，
故 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 ．
（Ⅲ）由已知，在 上有 ．
由已知， ，由（Ⅱ）可知，①当 时， 在 上单调递增，故 ，所以， ，解得 ，故 ．
②当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，故 ．由 可知 ， ， ，所以， ， ， 综上所述， ．
三、后作业
1．（1，+∞） 2． 3． 4． 5．m=1
6．（-∞，-1） 7．p=1或p=3 8．
9．解：(Ⅰ)由已知 ， ．故曲线 在 处切线的斜率为 ．
(Ⅱ) ．
①当 时，由于 ，故 ， ,所以， 的单调递增区间为 ．
②当 时，由 ，得 ．在区间 上， ，在区间 上 ，
所以，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（Ⅲ）由已知，转化为 ． ．
由(Ⅱ)知，当 时， 在 上单调递增，值域为 ，故不符合题意．
(或者举出反例：存在 ，故不符合题意．)
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 的极大值即为最大值， ，
所以 ，解得 ．
10．解：（1）因为 ，所以 ，令 ，得： ，此时 ，则点 到直线 的距离为 ，
即 ，解之得 ．
（2）解法一：不等式 的解集中的整数恰有3个，
等价于 恰有三个整数解，故 ，
令 ，由 且 ，
所以函数 的一个零点在区间 ，
则另一个零点一定在区间 ，故 解之得 ．
解法二： 恰有三个整数解，故 ，即 ，
，所以 ，又因为 ， 所以 ，解之得 ．
（3）设 ，则 ．
所以当 时， ；当 时， ．因此 时， 取得最小值 ，则 与 的图象在 处有公共点 ．
设 与 存在 “分界线”，方程为 ，
即 ，由 在 恒成立，则 在 恒成立 ．所以 成立，因此 ．
下面证明 恒成立．
设 ，则 ．
所以当 时， ；当 时， ．
因此 时 取得最大值 ，则 成立．
故所求“分界线”方程为： ．
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