1.3二项式定理
学习目标：
1 掌握二项式定理和二项式系数的性质。
2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
学习重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
学习难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
授类型：新授
时安排：1时
教 具：多媒体、实物投影仪
过程：
一、复习引入：
1．二项式定理及其特例：
（1） ，
（2） .
2．二项展开式的通项公式：
3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性
4 二项式系数表（杨辉三角）
展开式的二项式系数，当 依次取 …时，二项式系数表，表中每行两端都是 ，除 以 外的每一个数都等于它肩上两个数的和
5．二项式系数的性质：
展开式的二项式系数是 ， ， ，…， ． 可以看成以 为自变量的函数 ，定义域是 ，例当 时，其图象是 个孤立的点（如图）
（1）对称性．与首末两 端“等距离”的两个二项式系数相等（∵ ）．
直线 是图象的对称轴．
（2）增减性与最大值：当 是偶数时，中间一项 取得最大值；当 是奇数时，中间两项 ， 取得最大值．
（3）各二项式系数和：
∵ ，
令 ，则
二、讲解范例：
例1． 设 ，
当 时，求 的值
解：令 得：
，
∴ ，
点评：对于 ，令 即 可得各项系数的和 的值；令 即 ，可得奇数项系数和与偶数项和的关系
例2．求证： ．
证（法一）倒序相加：设 ①
又∵ 　　　②
∵ ，∴ ，
由①+②得： ，
∴ ，即 ．
（法二）：左边各组合数的通项为
，
∴ ．
例3．已知： 的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大 ．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系 数最大的项
解：令 ，则展开式中各项系数和为 ，
又展开式中二项式系数和为 ，
∴ ， ．
（1）∵ ，展开式共 项，二项式系数最大的项为第三、四两项，
∴ ， ，
（2）设展开式中第 项系数最大，则 ，
∴ ，∴ ，
即展开式中第 项 系数最大， ．
例4．已知 ，
求证：当 为偶数时， 能被 整除
分析：由二项式定理的逆用化简 ，再把 变形，化为含有因数 的多项式
∵ ，
∴ ，∵ 为偶数，∴设 （ ），
∴

（ ） ，
当 = 时， 显然能被 整除，
当 时，（ ）式能被 整除，
所以，当 为偶数时， 能被 整除

三、堂练习：
1． 展开式中 的系数为 ，各项系数之和为 ．
2．多项式 （ ）的展开式中， 的系数为
3．若二项式 （ ）的展开式中含有常数项，则 的最小值为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.8
4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ）
A.低于5％ B.在5％～6％之间
C.在6％～8％之间 D.在8％以上
5．在 的展开式中，奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，则 等于（ ）
A.0 B. C. D.
6．求和： ．
7．求证：当 且 时， ．
8．求 的展开式中系数最大的项
答案：1. 45, 0 2. 0 ．提示：
3. B 4. C 5. D 6.
7. (略) 8.
四、小结 ：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉 及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条进行 逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用

五、后作业 ：
1．已知 展开式中的各项系数的和等于 的展开式的常数项，而 展开式的系数的最大的项等于 ，求 的值
答案：
2．设
求：① ② ．
答案：① ； ②
3．求值： ．
答案：
4．设 ，试求 的展开式中：
（1）所有项的系数和；
（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和
答案：（1） ；
（2）所有偶次项的系数和为 ；
所有奇次项的系数和为
六、板书设计（略）
七、后记：

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