第十章 圆锥曲线
★知识网络★
第1讲 椭圆
★知识梳理★
1. 椭圆定义：
（1）第一定义：平面内与两个定点 的距离之和为常数 的动点 的轨迹叫椭圆,其中两个定点 叫椭圆的焦点.
当 时, 的轨迹为椭圆 ; ;
当 时, 的轨迹不存在;
当 时, 的轨迹为 以 为端点的线段
（2）椭圆的第二定义:平面内到定点 与定直线 (定点 不在定直线 上)的距离之比是常数 ( )的点的轨迹为椭圆
（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.
2.椭圆的方程与几何性质:
标准方程
性
质参数关系
焦点
焦距
范围
顶点
对称性关于x轴、y轴和原点对称
离心率
准线
3.点 与椭圆 的位置关系:
当 时,点 在椭圆外; 当 时,点 在椭圆内; 当 时,点 在椭圆上;
4.直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆相交 ;直线与椭圆相切 ;直线与椭圆相离
★重难点突破★
重点:掌握椭圆的定义标准方程，会用定义和求椭圆的标准方程，能通过方程研究椭圆的几何性质及其应用
难点:椭圆的几何元素与参数 的转换
重难点:运用数形结合，围绕“焦点三角形”，用代数方法研究椭圆的性质，把握几何元素转换成参数 的关系
1.要有用定义的意识
问题1已知 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于A、B两点若 ，则 =______________。
[解析] 的周长为 ， =8
2.求标准方程要注意焦点的定位
问题2椭圆 的离心率为 ，则
[解析]当焦点在 轴上时， ；
当焦点在 轴上时， ，
综上 或3
★热点考点题型探析★
考点1 椭圆定义及标准方程
题型1:椭圆定义的运用
[例1 ] (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是
A．4aB．2(a－c)C．2(a+c)D．以上答案均有可能
[解析]按小球的运行路径分三种情况:
(1) ,此时小球经过的路程为2(a－c);
(2) , 此时小球经过的路程为2(a+c);
(3) 此时小球经过的路程为4a,故选D
【名师指引】考虑小球的运行路径要全面
【新题导练】
1. （2007?佛山南海）短轴长为 ，离心率 的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为（ ）
A.3 B.6 C.12 D.24
[解析]C. 长半轴a=3，△ABF2的周长为4a=12
2. (广雅中学2008—2009学年度上学期期中考)已知 为椭圆 上的一点， 分别为圆 和圆 上的点，则 的最小值为（ ）
A． 5 B． 7 C ．13 D． 15
[解析]B. 两圆心C、D恰为椭圆的焦点， ， 的最小值为10-1-2=7
题型2 求椭圆的标准方程
[例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为 －4，求此椭圆方程.
【解题思路】将题中所给条件用关于参数 的式子“描述”出来
[解析]设椭圆的方程为 或 ，
则 ，
解之得： ，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为 或 .
【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数 的数量关系．
［警示］易漏焦点在y轴上的情况．
【新题导练】
3. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.
[解析](0,1). 椭圆方程化为 + =1. 焦点在y轴上，则 >2，即k<1.
又k>0，∴0
[解析]当 时， ，方程表示焦点在y轴上的椭圆，
当 时， ，方程表示圆心在原点的圆，
当 时， ，方程表示焦点在x轴上的椭圆
5. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是 ，求这个椭圆方程.
[解析] ， ，所求方程为 + =1或 + =1.
考点2 椭圆的几何性质
题型1:求椭圆的离心率（或范围）
[例3 ] 在 中， ．若以 为焦点的椭圆经过点 ，则该椭圆的离心率 ．
【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率
[解析] ，
，
【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定
（2）只要列出 的齐次关系式，就能求出离心率（或范围）
（3）“焦点三角形”应给予足够关注
【新题导练】
6. (执信中学2008-2009学年度第一学期高三期中考试)如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为
. . . .
[解析]选
7. （江苏盐城市三星级高中2009届第一协作片联考）已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆 的离心率为
[解析]由 ，椭圆 的离心率为
8. (山东济宁2007—2008学年度高三第一阶段质量检测)
我国于07年10月24日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球。嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆。若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m，远地点到地心的距离为n，第二次变轨后两距离分别为2m、2n（近地点是指卫星距离地面最近的点，远地点是距离地面最远的点），则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率（ ）
A．不变 B. 变小 C. 变大 D.无法确定
[解析] ， ，选A
题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）
[例4 ] 已知实数 满足 ,求 的最大值与最小值
【解题思路】 把 看作 的函数
[解析] 由 得 ,
当 时, 取得最小值 ,当 时, 取得最大值6
【名师指引】注意曲线的范围，才能在求最值时不出差错
【新题导练】
9.已知点 是椭圆 （ ， ）上两点,且 ,则 =
[解析] 由 知点 共线,因椭圆关于原点对称,
10.如图，把椭圆 的长轴 分成 等份，过每个分点作 轴的垂线交椭圆的上半部分于 七个点， 是椭圆的一个焦点
则 ________________
［解析］由椭圆的对称性知： ．
考点3 椭圆的最值问题
题型: 动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值
[例5 ]椭圆 上的点到直线l: 的距离的最小值为___________．
【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数
[解析]在椭圆上任取一点P,设P( ). 那么点P到直线l的距离为：
【名师指引】也可以直接设点 ，用 表示 后，把动点到直线的距离表示为 的函数，关键是要具有“函数思想”
【新题导练】
11.椭圆 的内接矩形的面积的最大值为
[解析]设内接矩形的一个顶点为 ，
矩形的面积
12. 是椭圆 上一点， 、 是椭圆的两个焦点，求 的最大值与最小值
[解析]
当 时， 取得最大值 ，
当 时， 取得最小值
13. （2007?惠州）已知点 是椭圆 上的在第一象限内的点，又 、 ，
是原点，则四边形 的面积的最大值是_________．
[解析] 设 ，则
考点4 椭圆的综合应用
题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题
[例6 ] 已知椭圆 的中心为坐标原点 ,一个长轴端点为 ,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线 与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且 ．
（1）求椭圆方程；
（2）求m的取值范围．
【解题思路】通过 ，沟通A、B两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等式
[解析]（1）由题意可知椭圆 为焦点在 轴上的椭圆，可设
由条件知 且 ，又有 ，解得
故椭圆 的离心率为 ，其标准方程为：
（2）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）
y＝kx＋m2x2＋y2＝1 得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0
Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*）
x1＋x2＝－2kmk2＋2， x1x2＝m2－1k2＋2
∵AP＝3PB ∴－x1＝3x2 ∴x1＋x2＝－2x2x1x2＝－3x22
消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（－2kmk2＋2）2＋4m2－1k2＋2＝0
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0
m2＝14时，上式不成立；m2≠14时，k2＝2－2m24m2－1，
因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝2－2m24m2－1>0，∴－1
即所求m的取值范围为（－1，－12）∪（12，1）
【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能
【新题导练】
14. (2007?广州四校联考)设过点 的直线分别与 轴的正半轴和 轴的正半轴交于 、 两点，点 与点 关于 轴对称， 为坐标原点，若 ，且 ，则 点的轨迹方程是 （ ）
A. B.
C. D.
[解析] ，选A.
15. 如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC= 。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持PA+PB的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）设直线l的斜率为k，若∠MBN为钝角，求k的取值范围。
解：（1）以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A（－1，0），B（1，0）
由题设可得
∴动点P的轨迹方程为 ，
则
∴曲线E方程为
（2）直线MN的方程为
由
∴方程有两个不等的实数根
∵∠MBN是钝角
即
解得：
又M、B、N三点不共线
综上所述，k的取值范围是
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基础巩固训练
1. 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线 与BF交于D,且 ,则椭圆的离心率为( )
A B C D
[解析] B .
2. （广东省四校联合体2007-2008学年度联合考试）设F1、F2为椭圆 +y2=1的两焦点，P在椭圆上，当△F1PF2面积为1时， 的值为
A、0 B、1 C、2 D、3
[解析] A . ， P的纵坐标为 ，从而P的坐标为 ， 0，
3. (广东广雅中学2008—2009学年度上学期期中考)椭圆 的一条弦被 平分,那么这条弦所在的直线方程是
A． B． C． D．
[解析] D. , ,两式相减得： ， ，
4.在 中， ， ．若以 为焦点的椭圆经过点 ，则该椭圆的离心率 ．
[解析]
5. 已知 为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若 , 则此椭圆的离心率为 _________.
[解析] [三角形三边的比是 ]
6. (2008江苏)在平面直角坐标系中，椭圆 1( 0)的焦距为2，以O为圆心， 为半径的圆，过点 作圆的两切线互相垂直，则离心率 = ．
[解析]
综合提高训练
7、已知椭圆 与过点A(2，0)，B(0，1)的直线l有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率 ．求椭圆方程
[解析]直线l的方程为：
由已知 ①
由 得：
∴ ，即 ②
由①②得：
故椭圆E方程为
8. (广东省汕头市金山中学2008－2009学年高三第一次月考)
已知A、B分别是椭圆 的左右两个焦点，O为坐标原点，点P ）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求 的值。
[解析]（1）∵点 是线段 的中点
∴ 是△ 的中位线
又 ∴
∴
∴椭圆的标准方程为 =1
（2）∵点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点
∴AC＋BC＝2a＝ ，AB＝2c＝2
在△ABC中，由正弦定理，
∴ ＝
9. (海珠区2009届高三综合测试二)已知长方形ABCD, AB=2 ,BC=1.以AB的中点 为原点建立如图8所示的平面直角坐标系 .
(Ⅰ)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点P(0,2)的直线 交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线 ,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线 的方程;若不存在,说明理由.
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