2.3.2抛物线的简单几何性质
(一)目标:
1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质;
2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论,在此基础上列表、描点、画抛物线图形;
3.在对抛物线几何性质的讨论中,注意数与形的结合与转化 .
(二)重点:抛物线的几何性质及其运用
(三)教学难点:抛物线几何性质的运用
(四)教学过程:
一、复习引入:(学生回顾并填表格)
1.抛物线定义:平面内与一个定点F和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点,定直线 叫做抛物线的准线.
图形
方程
焦点
准线
2.抛物线的标准方程:
相同点:(1)抛物线都过原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线都与对称轴垂直,垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的 ,即 .
不同点:(1)图形关于x轴对称时,x为一次项,y为二次项,方程右端为 、左端为 ;图形关于y轴对称时,x为二次项,y为一次项,方程右端为 ,左端为 . (2)开口方向在x轴(或y轴)正向时,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程右端取正号;开口在x轴(或y轴)负向时,焦点在x轴(或y轴)负半轴时,方程右端取负号.
二、讲解新课:
类似研究双曲线的性质的过程,我们以 为例来研究一下抛物线的简单几何性质:
1.范围
因为p>0,由方程 可知,这条抛物线上的点M的坐标(x,y)满足不等式x≥0,所以这条抛物线在y轴的右侧;当x的值增大时,y也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.
2.对称性
以-y代y,方程 不变,所以这条抛物线关于x轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.
3.顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程 中,当y=0时,x=0,因此抛物线 的顶点就是坐标原点.
4.离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e表示.由抛物线的定义可知,e=1.
对于其它几种形式的方程,列表如下:(学生通过对照完成下表)
标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率
注意强调 的几何意义:是焦点到准线的距离.
思考:抛物线有没有渐近线?(体会抛物线与双曲线的区别)
三、例题讲解:
例1 已知抛物线关于x轴为对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 ,求它的标准方程,并用描点法画出图形.
分析:首先由已知点坐标代入方程,求参数p.
解:由题意,可设抛物线方程为 ,因为它过点 ,
所以 ,即
因此,所求的抛物线方程为 .
将已知方程变形为 ,根据 计算抛物线在 的范围内几个点的坐标,得
x01234…
y022.83.54…
描点画出抛物线的一部分,再利用对称性,就可以画出抛物线的另一部分
点评:在本题的画图过程中,如果描出抛物线上更多的点,可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸,但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线,也就是说,抛物线没有渐近线.
例2斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线交于两点A、B,求线段AB的长.
解法1:如图所示,由抛物线的标准方程可知,焦点F(1,0),准线方程x=?1.
由题可知,直线AB的方程为y=x?1
代入抛物线方程y2=4x,整理得:x2?6x+1=0
解上述方程得x1=3+2 ,x2=3?2
分别代入直线方程得y1=2+2 ,y2=2?2
即A、B的坐标分别为(3+2 ,2+2 ),(3?2 ,2?2 )
∴AB=
解法2:设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1+x2=6,x1?x2=1
∴AB= x1?x2
解法3:设A(x1,y1)、B(x2,y2),由抛物线定义可知,
AF等于点A到准线x=?1的距离AA′
即AF=AA′=x1+1
同理BF=BB′=x2+1
∴AB=AF+BF=x1+x2+2=8
点评:解法2是利用韦达定理根与系数的关系,设而不求,是解析几何中求弦长的一种普遍适用的方法;解法3充分利用了抛物线的定义,解法简洁,值得引起重视。
变式训练:过抛物线 的焦点 作直线,交抛物线于 , 两点,若 ,求 。
解: , , 。
点评:由以上例2以及变式训练可总结出焦点弦弦长: 或 。
四、达标练习:
1.过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 , 两点,如果 ,那么 =( )
(A)10 (B)8 (C)6 (D)4
2.已知 为抛物线 上一动点, 为抛物线的焦点,定点 ,则 的最小值为( )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
3.过抛物线 焦点 的直线 它交于 、 两点,则弦 的中点的轨迹方程是 ______
4.定长为 的线段 的端点 、 在抛物线 上移动,求 中点 到 轴距离的最小值,并求出此时 中点 的坐标.
参考答案:1. B 2. B 3. 4. , M到 轴距离的最小值为 .
五、小结 :抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等.
六、课后作业:
1.根据下列条件,求抛物线的方程,并画出草图.
(1)顶点在原点,对称轴是x轴,顶点到焦点的距离等于8.
(2)顶点在原点,焦点在y轴上,且过P(4,2)点.
(3)顶点在原点,焦点在y轴上,其上点P(m,-3)到焦点距离为5.
2.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,若A、B在准线上的射影是A2、B2,则∠A2FB2等于 .
3.抛物线顶点在原点,以坐标轴为对称轴,过焦点且与y轴垂直的弦长为16,求抛物线方程.
4.以椭圆 的右焦点,F为焦点,以坐标原点为顶点作抛物线,求抛物线截椭圆在准线所得的弦长.
5.有一抛物线型拱桥,当水面距拱顶4米时,水面宽40米,当水面下降1米时,水面宽是多少米?
习题答案:
1.(1)y2=±32x(2)x2=8y(3)x2=-8y
2.90° 3.x2=±16 y4. 5. 米
七、板书设计(略)
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