安徽省阜阳市阜阳一中2015—2014学年度高二上学期期中考试数学试卷（理科）注意事项：1．在答题卷指定位置填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卷上选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。已知点B是点A（3，4，-2）在平面上的射影，则等于( ) B. C. 5 D. 2、给出如下四个命题：①若“”为假命题，则均为假命题；②命题“若,则”的否命题为“若,则”；③命题“任意”的否定是“存在”；④在中，“”是“”的充要条件.其中不正确命题的个数是A.4 B.3 C.2 D.13、已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点到焦点的距离为4，则的值为(　　)A．4 B．－2C．4或－4 D．12或－2的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆标准方程为（ ）A. B. C. D.5、已知空间四边形，其对角线为，分别是边的中点，点 在线段上，且使，用向量表示向量是 （ ）A． B．C． D． 6、方程表示的曲线是（ ）A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线7、正方体ABCD—A1B1C1D1中直线与平面夹角的余弦值是（ 　）A． B． C． D．8、已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若为正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A. B. C. D.9、抛物线上到直线的距离最近的点的坐标（ ）A. B. C. D. 10、椭圆的左、右焦点分别为，弦AB过，若的内切圆周长为，A,B两点的坐标分别为和，则的值为（ ）A . B. C. D. 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题的相应满足约束条件：；则的取值范围为 12、已知平行六面体中， 则 轴上，离心率为2，为左、右焦点。P为双曲线上一点，且，，则双曲线的标准方程为__________.14、在直角坐标系中，设A（-2，3），B（3，-2），沿轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后，这时则的大小为　　　　　将边长为2，锐角为的菱形沿较短对角线折成二面角，点分别为的中点，给出下列四个命题：①；②异面直线都垂直；③当二面角是直二面角时，；④垂直于截面.其中正确的是 （将正确命题的序号全填上）.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题的定区域内12分：方程无实根，命题：方程是焦点在轴上的椭圆．若与同时为假命题，求的取值范围．17、（12分中，M,N分别是线段和BD上的点，且AM=BN=（1）求的最小值； （2）当达到最小值时，与，是否都垂直，如果都垂直给出证明；如果不是都垂直，说明理由。18、（12分的前项的和为，，求证：数列为等差数列的充要条件是。19、（12分的中心在坐标原点，边与轴平行，=8，=6. 分别是矩形四条边的中点，是线段的四等分点,是线段的四等分点.设直线与,与,与的交点依次为.求以为长轴，以为短轴的椭圆Q的方程；根据条件可判定点L,M,N都在（1）中的椭圆Q上，请以点L为例，给出证明（即证明点L在椭圆Q上）.(3)设线段的（等分点从左向右依次为，线段的等分点从下向上依次为，那么直线与哪条直线的交点一定在椭圆Q上？（写出结果即可，此问不要求证明）20、（13分如图，四面体中，、分别是、的中点，（）求证：平面；（）求的正切值；（）求点到平面的距离．14分中，已知椭圆的左焦点为，且椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的上下顶点分别为,是椭圆上异于的任一点,直线分别交轴于点,证明:为定值,并求出该定值；(3)在椭圆上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由.阜阳一中2015-2016学年度高二上学期数学（理）答案 一、选择题（每小题5分）CDCDADCABD二、填空题：(每小题5分)11、 12. 13. 14. 120° 15. ②③④三、解答题：16、是焦点在y轴上的椭圆是假命题，得m-1≤1，解得m≤2．综上所述，m的取值范围是{m1＜m≤2}．17、（12分）（1）【解法一】：作，连.易知在，由余弦定理可得：在，。当时，最小值=【解法二】建系，。。。。。。可得。。。。。。（2）利用建系，得出向量坐标，可证两者都垂直。18、（12分）略19、（12分）（1）（2）【证法一】设，易知由可得=；再由可得；两式相乘得：即。即点L在椭圆Q上。【证法二】：易求得 方程：，方程：,联立得代入椭圆方程。。。。。。。（3）若证明，用（2）的证法一。20、（Ⅰ）证明：连结OC在中，由已知可得而 即 平面 4分（）解：于F，连AF由（1）知， 故 , 是二面角的平面角，易知,。即所求二面角的正切值为。。。。。。。。。 8分（Ⅲ）解：设点E到平面ACD的距离为确规定在中，而点E到平面ACD的距离为 方法二：（Ⅰ）同方法一.（Ⅱ）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则（Ⅲ）解：设平面ACD的法向量为则令得是平面ACD的一个法向量，又点E到平面ACD的距离19、（12分）答案： . 20（12分）（Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD，∴DE⊥AF．又∵AC=AD，F为CD中点，∴AF⊥CD，因CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE. （Ⅱ）取CE的中点Q，连接FQ，因为F为CD的中点，则FQ∥DE，故DE⊥平面ACD，∴FQ⊥平面ACD，又由（Ⅰ）可知FD，FQ，FA两两垂直，以O为坐标原点，建立如图坐标系，则F（0，0，0），C（，0，0），A（0，0，），B（0，1，），E（1，2，0）．设面ABC的法向量，则即取．又平面ACD的一个法向量为，则即∴ ．∴二面角的大小为。21、（14）解：（1）由题意：，解得： 所以椭圆 (2) 由（）,设, 直线:,令,得; 直线:,令,得; 则, 而,所以,所以 (3)假设存在点满足题意，则，即设圆心到直线的距离为，则，且 所以 所以 因为，所以，所以所以 当且仅当，即时，取得最大值由，解得 13分所以存在点满足题意，点的坐标为此时的面积为 安徽省阜阳市阜阳一中2015—2015学年度高二上学期期中考试数学试卷（理科）
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