选修2-2 3.1.2 复数的几何意义
一、
1．如果复数a＋bi(a，b∈R)在复平面内的对应点在第二象限，则(　　)
A．a>0，b<0　　　　　　
B．a>0，b>0
C．a<0，b<0
D．a<0，b>0
[答案]　D
[解析]　复数z＝a＋bi在复平面内的对应点坐标为(a，b)，该点在第二象限，需a<0且b>0，故应选D.
2．(2010?北京文，2)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)
A．4＋8i
B．8＋2i
C．2＋4i
D．4＋i
[答案]　C
[解析]　由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝6－22＝2，y＝5＋32＝4，
∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.
3．当23A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案]　D
[解析]　∵23＜m＜1，∴3m－2>0，m－1＜0，
∴点(3m－2，m－1)在第四象限．
4．复数z＝－2(sin100°－icos100°)在复平面内所对应的点Z位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案]　C
[解析]　z＝－2sin100°＋2icos100°.
∵－2sin100°<0,2cos100°<0，
∴Z点在第三象限．故应选C.
5．若a、b∈R，则复数(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－5)i对应的点在(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案]　D
[解析]　a2－6a＋10＝(a－3)2＋1>0，－b2＋4b－5
＝－(b－2)2－1<0.所以对应点在第四象限，故应选D.
6．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是(　　)
A．z对应的点在第一象限
B．z一定不是纯虚数
C．z对应的点在实轴上方
D．z一定是实数
[答案]　C
[解析]　∵2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1，∴排除A、B、D，选C.
7．下列命题中假命题是(　　)
A．复数的模是非负实数
B．复数等于零的充要条件是它的模等于零
C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件
D．复数z1>z2的充要条件是z1＞z2
[答案]　D
[解析]　①任意复数z＝a＋bi(a、b∈R)的模z＝a2＋b2≥0总成立．∴A正确；
②由复数相等的条件z＝0?a＝0b＝0.?z＝0，故B正确；
③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R)
若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴z1＝z2
反之由z1＝z2，推不出z1＝z2，
如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时z1＝z2，故C正确；
④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．
8．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于10，则实数x的取值范围是(　　)
A．－45B．x<2
C．x>－45
D．x＝－45或x＝2
[答案]　A
[解析]　由题意知(x－1)2＋(2x－1)2<10，
解之得－459．已知复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝－1＋ai，若z1A．b<－1或b>1
B．－1C．b>1
D．b>0
[答案]　B
[解析]　由z1∴b2<1，则－110．复平面内向量OA→表示的复数为1＋i，将OA→向右平移一个单位后得到向量O′A′→，则向量O′A′→与点A′对应的复数分别为(　　)
A．1＋i,1＋i
B．2＋i,2＋i
C．1＋i,2＋i
D．2＋i,1＋i
[答案]　C
[解析]　由题意O′A′→＝OA→，对应复数为1＋i，点A′对应复数为1＋(1＋i)＝2＋i.
二、题
11．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为________________．
[答案]　－∞，－1－52∪32，＋∞
[解析]　复数z对应的点在第一象限
需m2＋m－1>04m2－8m＋3>0解得：m<－1－52或m>32.
12．设复数z的模为17，虚部为－8，则复数z＝________.
[答案]　±15－8i
[解析]　设复数z＝a－8i，由a2＋82＝17，
∴a2＝225，a＝±15，z＝±15－8i.
13．已知z＝(1＋i)m2－(8＋i)m＋15－6i(m∈R)，若复数z对应点位于复平面上的第二象限，则m的取值范围是________．
[答案]　3[解析]　将复数z变形为z＝(m2－8m＋15)＋(m2－m－6)i
∵复数z对应点位于复平面上的第二象限
∴m2－8m＋15<0m2－m－6>0解得314．若t∈R，t≠－1，t≠0，复数z＝t1＋t＋1＋tti的模的取值范围是________．
[答案]　[2，＋∞)
[解析]　z2＝t1＋t2＋1＋tt2≥2t1＋t?1＋tt＝2.
∴z≥2.
三、解答题
15．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝2m＋(4－m2)i的点
(1)位于虚轴上；
(2)位于一、三象限；
(3)位于以原点为圆心，以4为半径的圆上．
[解析]　(1)若复平面内对应点位于虚轴上，则2m＝0，即m＝0.
(2)若复平面内对应点位于一、三象限，则2m(4－m2)>0，解得m<－2或0(3)若对应点位于以原点为圆心，4为半径的圆上，
则4m2＋(4－m2)2＝4
即m4－4m2＝0，解得m＝0或m＝±2.
16．已知z1＝x2＋x2＋1i，z2＝(x2＋a)i，对于任意的x∈R，均有z1>z2成立，试求实数a的取值范围．
[解析]　z1＝x4＋x2＋1，z2＝x2＋a
因为z1>z2，所以x4＋x2＋1>x2＋a
?x4＋x2＋1>(x2＋a)2?(1－2a)x2＋(1－a2)>0恒成立．
不等式等价于1－2a＝0或1－2a>0Δ＝－4(1－2a)(1－a2)<0
解得－1所以a的取值范围为－1，12.
17．已知z1＝cosθ＋isin2θ，z2＝3sinθ＋icosθ，当θ为何值时
(1)z1＝z2；
(2)z1，z2对应点关于x轴对称；
(3)z2<2.
[解析]　(1)z1＝z2?cosθ＝3sinθsin2θ＝cosθ
?tanθ＝332sinθcosθ＝cosθ?θ＝2kπ＋π6(k∈Z)．
(2)z1与z2对应点关于x轴对称
?cosθ＝3sinθsin2θ＝－cosθ?θ＝kπ＋π6(k∈Z)2sinθcosθ＝－cosθ
?θ＝2kπ＋76π(k∈Z)．
(3)z2<2?(3sinθ)2＋cos2θ<2
?3sin2θ＋cos2θ<2?sin2θ<12
?kπ－π4<θ18．已知复数z1＝3－i及z2＝－12＋32i.
(1)求z1及z2的值并比较大小；
(2)设z∈C，满足条件z2≤z≤z1的点Z的轨迹是什么图形？
[解析]　(1)z1＝3＋i＝(3)2＋12＝2
z2＝－12－32i＝1.∴z1＞z2.
(2)由z2≤z≤z1，得1≤z≤2.
因为z≥1表示圆z＝1外部所有点组成的集合．
z≤2表示圆z＝2内部所有点组成的集合，


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