2.2.2椭圆的几何性质(一)
目标:(1)掌握椭圆的范围,对称性,顶点,离心率。
(2)掌握标准方程中a,b,c,e的几何意义,以及之间的相互关系.
(3)通过椭圆标准方程的讨论,使学生理解在解析几何中是怎样用代数方法研究几何问题的。
重点:掌握椭圆的几何性质
难点:椭圆的几何性质的探究以及a,b,c,e关系
一.问题情境
二.数学探究
问题1:观察椭圆的形状,你能从图上看出它的范围吗?它
具有怎样的对称性?椭圆上哪些点比较特殊?
1.范围:
2.椭圆的对称性:
3.椭圆的顶点坐标:
三.数学应用
例1:已知椭圆方程为 ,回答下列问题,并用描点法画出图形
它的长轴长是: 。短轴长是: 。
焦距是: 。
焦点坐标是: 。
顶点坐标是: 。
问题2:圆的形状都是相同的,而椭圆却有些比较“扁”,有些比较“圆”,用什么样的量来刻画椭圆“扁”的程度呢?
4.椭圆的离心率:
练习:下列各组椭圆中,哪一个更接近于圆?
例2.若椭圆 + =1的离心率为 0.5,求k的值。
巩固练习:
1.椭圆方程 上点P(x,y)的横坐标的范围为
2.若点P(2,4)在椭圆 上,下列是椭圆上的点有
(1)P(-2,4) (2)P(-4,2) (3) P(-2,-4) (4)P(2,-4)
3.中心在原点,焦点在x轴上,长轴、短轴的长分别为8和6的椭圆方程为
4.说出椭圆 的长轴长,短轴长,离心率,顶点和焦点坐标。
5. 若椭圆的两个焦点把长轴分成三等分,则其离心率为
问题探究:.若椭圆 的两个焦点F1,F2及一个短轴端点B1构成正三角形,求其离心率。
变式1:若 是等边三角形?
点击高考:
(2008 江苏 12)在平面直坐标系中,椭圆 的焦距为2。以O为圆心,a为半径作圆,过点 作圆的两切线互相垂直,则离心率e=______
课外练习:
1.根据下列条件,求出椭圆的标准方程
(1)中心在原点,一个焦点坐标为(0,5),短轴长为4。
(2)对称轴都在坐标轴上,长半轴长为10,离心率是0.6。
(3)已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,长轴是短轴的三倍,且椭圆经过点P(3,0)
(4)中心在原点,焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到右顶点的距离为1。
2.、若椭圆的焦距长等于它的短轴长,则其离心率为 。
3、已知椭圆 过点(3,-2),离心率为 ,求a,b的值
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