选修2-2 1.3.2 函数的极值与导数
一、
1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是(　　)
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值
C．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值
D．如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值
[答案]　C
[解析]　导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.
2．函数y＝1＋3x－x3有(　　)
A．极小值－2，极大值2
B．极小值－2，极大值3
C．极小值－1，极大值1
D．极小值－1，极大值3
[答案]　D
[解析]　y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)
令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1
当x<－1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，
当－10，函数y＝1＋3x－x3是增函数，
当x>1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，
∴当x＝－1时，函数有极小值，y极小＝－1.
当x＝1时，函数有极大值，y极大＝3.
3．设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是(　　)
A．必有f′(x0)＝0
B．f′(x0)不存在
C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在
D．f′(x0)存在但可能不为0
[答案]　C
[解析]　如：y＝x，在x＝0时取得极小值，但f′(0)不存在．
4．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　C
[解析]　只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件．
5．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：
①f(x)是增函数，无极值；
②f(x)是减函数，无极值；
③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)；
④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．
其中正确的命题有(　　)
A．1个　　　　　　　　B．2个
C．3个 D．4个
[答案]　B
[解析]　f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)>0，得x>2或x<0，令f′(x)<0，得06．函数f(x)＝x＋1x的极值情况是(　　)
A．当x＝1时，极小值为2，但无极大值
B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值
C．当x＝－1时，极小值为－2；当x＝1时，极大值为2
D．当x＝－1时，极大值为－2；当x＝1时，极小值为2
[答案]　D
[解析]　f′(x)＝1－1x2，令f′(x)＝0，得x＝±1，
函数f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)和(0,1)上单调递减，
∴当x＝－1时，取极大值－2，当x＝1时，取极小值2.
7．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案]　A
[解析]　由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点．
8．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是(　　)
A．有极小值
B．有极大值
C．既有极大值又有极小值
D．无极值
[答案]　D
[解析]　∵y′＝1－11＋x2(x2＋1)′
＝1－2xx2＋1＝(x－1)2x2＋1
令y′＝0得x＝1，当x>1时，y′>0，
当x<1时，y′>0，
∴函数无极值，故应选D.
9．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是(　　)
A．极大值为427，极小值为0
B．极大值为0，极小值为427
C．极大值为0，极小值为－427
D．极大值为－427，极小值为0
[答案]　A
[解析]　由题意得，f(1)＝0，∴p＋q＝1①
f′(1)＝0，∴2p＋q＝3②
由①②得p＝2，q＝－1.
∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1
＝(3x－1)(x－1)，
令f′(x)＝0，得x＝13或x＝1，极大值f13＝427，极小值f(1)＝0.
10．下列函数中，x＝0是极值点的是(　　)
A．y＝－x3 B．y＝cos2x
C．y＝tanx－x D．y＝1x
[答案]　B
[解析]　y＝cos2x＝1＋cos2x2，y′＝－sin2x，
x＝0是y′＝0的根且在x＝0附近，y′左正右负，
∴x＝0是函数的极大值点．
二、题
11．函数y＝2xx2＋1的极大值为______，极小值为______．
[答案]　1 －1
[解析]　y′＝2(1＋x)(1－x)(x2＋1)2，
令y′>0得－11或x<－1，
∴当x＝－1时，取极小值－1，当x＝1时，取极大值1.
12．函数y＝x3－6x＋a的极大值为____________，极小值为____________．
[答案]　a＋42　a－42
[解析]　y′＝3x2－6＝3(x＋2)(x－2)，
令y′>0，得x>2或x<－2，
令y′<0，得－2∴当x＝－2时取极大值a＋42，
当x＝2时取极小值a－42.
13．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝______，b＝________.
[答案]　－3 －9
[解析]　y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3，由韦达定理应有
14．已知函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是________．
[答案]　(－2,2)
[解析]　令f′(x)＝3x2－3＝0得x＝±1，
可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，
y＝f(x)的大致图象如图
观察图象得－2三、解答题
15．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11.
(1)写出函数f(x)的递减区间；
(2)讨论函数f(x)的极大值或极小值，如有试写出极值．
[解析]　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.
x变化时，f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：
x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)
f′(x)＋0－0＋
f(x)增极大值
f(－1)减极小值
f(3)增
(1)由表可得函数的递减区间为(－1,3)；
(2)由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f(－1)＝16；当x＝3时，函数有极小值为f(3)＝－16.
16．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求a、b、c的值，并求出相应的极值．
[解析]　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
∵x＝±1是函数的极值点，∴－1、1是方程f′(x)＝0的根，即有
又f(1)＝－1，则有a＋b＋c＝－1，
此时函数的表达式为f(x)＝12x3－32x.
∴f′(x)＝32x2－32.
令f′(x)＝0，得x＝±1.
当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)
f′(x)＋0－0＋
f(x) ?极大
值1 ?极小
值－1 ?
由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极大值1；当x＝1时，函数有极小值－1.
17．已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值．
(1)讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值；
(2)过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程．
[解析]　(1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意，
f′(1)＝f′(－1)＝0，即
解得a＝1，b＝0.
∴f(x)＝x3－3x，
f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.
若x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则f′(x)＞0，故
f(x)在(－∞，－1)上是增函数，
f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
若x∈(－1,1)，则f′(x)＜0，故
f(x)在(－1,1)上是减函数．
∴f(－1)＝2是极大值；f(1)＝－2是极小值．
(2)曲线方程为y＝x3－3x.点A(0,16)不在曲线上．
设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0＝x30－3x0.
∵f′(x0)＝3(x20－1)，故切线的方程为
y－y0＝3(x20－1)(x－x0)．
注意到点A(0,16)在切线上，有
16－(x30－3x0)＝3(x20－1)(0－x0)．
化简得x30＝－8，解得x0＝－2.
∴切点为M(－2，－2)，
切线方程为9x－y＋16＝0.
18．(2010?北京文，18)设函数f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.
(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．
[解析]　本题考查了函数与导函数的综合应用．
由f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d得f′(x)＝ax2＋2bx＋c
∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4.
(1)当a＝3时，由(*)式得 ，
解得b＝－3，c＝12.
又∵曲线y＝f(x)过原点，∴d＝0.
故f(x)＝x3－3x2＋12x.
(2)由于a>0，所以“f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”
由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.
又∵Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)
解 得a∈[1,9]，
即a的取值范围[1,9]．


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