必修4第二章平面向量
第四部分 练习与试卷
2.1 平面向量的概念及其线性运算（练习）
【练习目标】
1、理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；
2、掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；
3、掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；
4、了解向量线性运算的性质及其几何意义。
【自我测试】
1、下列命题中
（1） 与 方向相同
（2） 与 方向相反
（3） 与 有相等的模
（4）若 与 垂直
其中真命题的个数是 ( )
A、0 B、1 C、2 D、3
2、 已知AD、BE是 ABC的边BC、AC上的中线，且 ， ，
则 为 ( )
A、 B、 C、 D、
3、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ，则P的轨迹一定经过 ABC的( )
A、外心 B、内心 C、垂心 D、重心
4、若非零向量 、 满足 + = ― ，则 与 所成角的大小为_________________。
5、已知点M是 ABC的重心，若 ，求 的值。
6、 ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H， ，求实数 的值。
2.2 平面向量的坐标运算
【练习目标】
1、知识与技能：了解平面向量的基本定理及其意义、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
2、能力目标：会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；
3、情感目标：通过对平面向量的基本定理来理解坐标，实现从图形到坐标的转换过程，锻炼学生的转化能力。
【自我测试】
1、下列命题正确的是 （ ）
A、 B、
C、 D、
2、已知正方形ABCD的边长为1， ，则 = （ ）
A、0 B、3 C、 D、
3、已知 ，则 共线的条件是 （ ）
A、 B、 C、 D、 或
4、如图，在 中D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则 （ ）
A、 B、 C、 D、
5、若 ，则实数p、q的值为 （ ）
A、 B、 C、 D、
6、已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A（1，2），B（4，1），C（0，-1），则 是（ ）
A、等腰三角形 B、等腰直角三角形 C、直角三角形 D、以上都不对
2.3 平面向量的数量积及其运算
【学习目标】
1．知识与技能：
（1）理解向量数量积的定义与性质；
（2）理解一个向量在另一个向量上的投影的定义；
（3）掌握向量数量积的运算律；
（4）理解两个向量的夹角定义；
【自我测试】
1、已知 ， ， 和 的夹角为 ，则 为 （ ）
A． B． C． D．
2、已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3、在△ABC中，a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边，设向量 ，若 ,则角A的大小为（ ）
A. B. C. D.
4、设 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：
① ②
③ 不与 垂直 ④
其中正确的是（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
5、若向量 与 的夹角为 ， ，则向量 的模为（ ）
A. B. C. D.
6、 为锐角三角形的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
7、设 是两个非零向量， 是 在 的方向上的投影，而 是 在 的方向上的投影，若 与 的夹角为钝角，则（ ）
A． B． C． D．
8、在 中，若 且 ，则 的形状是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形
9、若 ，则 与 的夹角为 ； = ．
10、已知 ， ,如果 与 的夹角为锐角,则 的取值范围是
11、 = 时 ， 与 垂直
12、设向量 其中 ，则 的最大值是 ．
13、已知向量 与 的夹角为 ， ，则 = ．
14、已知 ，
⑴求 与 的夹角 ； ⑵求 ；
⑶若 ， ，求 的面积．
15、已知向量 且 ．
⑴求 及 ；
⑵若 的最小值是 ，求 的值．
2.4平面向量的应用
【学习目标】
1.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学 问题与其他一些实际问题的 过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力
2.运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，并在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力
1．在△ABC中，AB=a，AC=b，当a?b ＜0时，△ABC为（ ）
Ａ．直角三角形Ｂ．锐角三角形
Ｃ．钝角三角形Ｄ．等腰三角形
2．若向量a、b、c满足a +b+c=0，a=3，b=1，c=4，则a b+b c+c a等于（ ）
Ａ． 11Ｂ． 12Ｃ． 13Ｄ． 14
3．已知点 ，则∠BAC 的余弦值为 ．
4．已知 ，且a 与b的夹角为钝角，则x的取值范围是 ．
5． 的顶点为 ，重心 ．求：
（1） 边上的中线长 ；
（2） 边上的高的长．
6．已知O为△ABC所在平面内的一点，且满足 ，试判断△ABC的形状．
7．已知 ，设C是直线OP上的一点，其中O为坐标原点．
（1）求使 取得最小值时向量 的坐标；
（2）当点C满足（1）时，求cos∠ACB．
8、已知O为△ABC所在平面内的一点，且满足 ，试判断△ABC的形状．
9、已知 ，设C是直线OP上的一点，其中O为坐标原点．
（1）求使 取得最小值时向量 的坐标；
（2）当点C满足（1）时，求cos∠ACB．
平面向量测试卷
命题人：蓝承
一、：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、设向量 ， ，则下列结论中正确的是（ ）
A、 B、
C、 与 垂直D、 ∥
2、在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若 ， ,则 （ ）
A．（3，5） B．（2，4） C、（－2，－4）D．（－3，－5）
3、义平面向量之间的一种运算“ ”如下，对任意的 ， ，令
，下面说法错误的是（ ）
A.若 与 共线，则 B.
C.对任意的 ，有 D.
4、已知向量a,b满足a?b＝0，a=1，b=2，则2a－b＝（ ）
A、8 B、4 C、2 D、0
5、在 中， ， ．若点 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外， 则 （ ）
A、8 B、4 C、 2 D、1
7、 中，点 在 上， 平方 ．若 ， ， ， ，则 （ ）
A、 B、 C、 D 、
8、已知 和点 满足 .若存在实数 使得 成立，则 =（ ）
A． 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．
9、如图，在 中， ，
，则 = 。
10、已知向量 ，若 ∥ ，则 .
11、已知平面向量 则 的值是
12、直角坐标平面 中，若定点 与动点 满足 ，则点P的轨迹方程是__________
三、解答题：本大题共4小题，每小题14分，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
13、已知向量 与 互相垂直，其中 ．
（1）求 和 的值；
（2）若 ，求 的值．
14、在 ，已知 ，求角A，B，C的大小.
15、在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足( )? =0，求t的值。
16、如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ
以点A为中点，问 与 的夹角θ取何值时， ? 的
值最大？并求出这个最大值.
平面向量测试卷答案
一、：
题号12345678
答案CDBCACDB
二、题：
9、
10、-1
11、
12、x+2y-4=0
三、解答题：
13、解：（1）∵ 与 互相垂直，则 ，即 ，代入 得 ，又 ，
∴ .
（2）∵ ， ，∴ ，
则 ，
14、解：设
由 得 ，所以
又 因此
由 得 ，于是
所以 ， ，因此
，既
由A= 知 ，所以 ， ，从而
或 ，既 或 故
或 。
15、解：由题设知 ，则
所以
故所求的两条对角线的长分别为 、 。
（2）由题设知： =(－2,－1)， 。
由( )? =0，得： ，
从而 所以 。
或者： ，
16、解：∵ ⊥ ,∴ ? =0.
∵ = - , = - , = - ,
∴ ? =( - )?( - )
= ? - ? - ? + ?
= -a2- ? + ?
= -a2- ?( - )
= -a2+ ?
= -a2+ a2cosθ.
故当cosθ=1,即θ=0 ( 与 方向相同)时, ? 最大,最大值为0.
2013年全国高考理科数学 试题分类汇编：平面向量
一、选择题
1 ．（2013年高考上海 卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为 ;以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为 .若 分别为 的最小值、最大值, 其中 , ,则 满足（ ）
A． B． C． D．
【答 案】D．
2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知点 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））设 是边 上一定点,满足 ,且对于边 上任一点 ,恒有 .则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））在四边形ABCD中, , ,则四边形的面积为（ ）
A． B． C．5D．10
【答案】C
5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））在平面直角坐标系中, 是坐标原点,两定点 满足 则点集 所表示的区域的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在平面上, , , .若 ,则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
7 ．（2013年高考湖南卷（理））已知 是单位向量, .若向量 满足 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对） ）已知向量 ,若 ,则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
9 ．（2013 年高考湖北卷（理））已知点 . . . ,则向量 在 方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
二、填空题
10．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））已知正方形 的边长为 , 为 的中点,则 _______.
【答案】2
11．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）已知向量 , .若 ,则实 数 __________
【答案】
12．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知向量 与 的夹角为 °,且 , ,若 ,且 ,则实数 的值为__________.
【答案】
13．（2013年高考新课标1（理））已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c= ta+(1-t)b,若b?c=0,则t=_____.
【答案】 = .
14．（2013年高考北京卷（理））向量a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa+μb (λ,μ∈R),则 =_________.
【答案】4
15．（201 3年普通高等学校招生 统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））设 为单位向量,非零向量 ,若 的夹角 为 ,则 的最大值等于________.
【答案】2
16．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））设 分别是 的边 上的点, , ,若 ( 为实数),则 的值为__________.
【答案】
17．（2013年高考四川卷（理））在平行四边形 中,对角线 与 交于点 , ,则 ___ ______.
【答案】2
18．（2013年高考江西卷（理））设 , 为单位向量.且 , 的夹角为 ,若 , ,则向量 在 方向上的射影为 ___________
【答案】
19．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若 , 则AB的长为______.
【答案】
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编：平面向量
一、选择题
20 ．（20 13年高考辽宁卷（文））已知点 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
21 ．（2013年高考湖北卷（文））已知点 、 、 、 ,则向量 在 方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
22 ．（2013年高考大纲卷（文））已知向量 （ ）
A． B． C． D．
【答案】 B
23 ．（2013年高考湖南（文））已知a,b是单位向量,a?b=0.若向量c满足c-a-b=1,则c的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
24 ．（2013年高考广东卷（文））设 是已知的平面向量且 ,关于向量 的分解,有如下四个命题:
①给定向量 ,总存在向量 ,使 ;
②给定向量 和 ,总存在实数 和 ,使 ;
③给定单位向量 和正数 ,总存在单位向量 和实数 ,使 ;
④给定正数 和 ,总存在单位向量 和单位向量 ,使 ;
上述命题中的向量 , 和 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【 答案】B
25 ．（2013年高考陕西卷（文））已知向量 , 若a//b, 则实数m等于（ ）
A． B． C． 或 D．0
【答案】C
26 ．（2013年高考辽宁卷（文））已知点 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
27 ．（2013年高考福建卷（文））在四边形 中, ,则该四边形的面积为（ ）
A． B． C．5D．10
【答案】C
二、填空题
28 ．（2013年高考四川卷（文））如图,在平行四边形 中, 对角线 与 交于点 , ,则 _____________.
【答案】2
29．（2013年高考天津卷（文））在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若 , 则AB的长为______.
【答案】
30．（2013年高考重庆卷（文）） 为边, 为对角线的矩形中, , ,则实数 ____________.
【答案】4
31．（ 2013年高考山东卷（文））在平面直 角坐标系 中,已知 , ,若 ,则实数 的值为______
【答案】5
32．（2013年高考浙江卷（文））设e1.e2为单位向量,非零向量b=xe1+ye2,x.y∈R..若e1.e2的夹角为 ,则xb的最大值等于_______.
【答案】2
33．（2013年高考安徽（文））若非零向量 满足 ,则 夹角的余弦值为_______.
【答案】
34．（2013年上海高考数学试题（文科））已知正方形 的边长为1.记以 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 、 、 ;以 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 、 、 .若 且 ,则 的最小值是______ __.
【答案】
35．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的 中点,则 ________.
【答案】 2
36．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知两个单位向量 , 的夹角为 , ,若 ,则 _____.
【答案】2;
37．（2013年高考北京卷（文））已知点 , , .若平面区域D由所有满足 的点P 组成,则D的面积为__________.
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