函数的零点

(1)定义：

对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．

(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：

方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．

(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)?f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

典型例题1：

2

二二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系

典型例题2：

3

三二分法

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)?f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

1、函数的零点不是点：

函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．

2、对函数零点存在的判断中，必须强调：

(1)、f(x)在[a，b]上连续；

(2)、f(a)?f(b)<0；

(3)、在(a，b)内存在零点．

这是零点存在的一个充分条件，但不必要．

3、对于定义域内连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．典型例题3：

利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时，首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续不断，再看是否有f(a)?f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．

4

四判断函数零点个数的常用方法

1、解方程法：

令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

2、零点存在性定理法：

利用定理不仅要判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)?f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．

3、数形结合法：

转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．

典型例题4：

已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法

1、直接法：

直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

2、分离参数法：

先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．

3、数形结合法：

先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

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