黄冈中学届高三第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．满足，则A． B． C． D．2．命题甲：或；命题乙：则甲是乙的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件3．已知双曲线的焦距为，焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线的标准方程为A． B．C．或 D．或．用0，1，2，3，4排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则该五位数的个数是 A．36 B．32 C．24 D．20．已知，则的值为A． B． C． D．．对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的众数、中位数分别为A．， B．， C．， D．， ．在游乐场，有一种游戏是向一个画满均匀方格的桌面上投硬币，若硬币恰落在任何一个方格内不与方格线重叠，即可获奖．已知硬币的直径为，若游客获奖的概率不超过，则方格边长最长为(单位)A． B． C． D．8．某几何体的三视图如图示，则此几何体的体积是A． B． C． D．9．如图，是圆的直径，是圆上的点，，，，则的值为A． B．C． D． 10．已知定义在上的单调函数，对，都有，则方程的解所在的区间是A．（0，） B．（） C．（1，2） D．（2，3）二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题分，共分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，书写不清楚，模拟两可均不得分．（一）必考题（11 — 14题）11．的展开式中,含项的系数为 ．12．执行如图所示的程序框图，输出的值是 ．13．已知，且，则的最大值为 ．14．对于实数，将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分，用符号表示．已知无穷数列满足如下条件：①；②．（Ⅰ）若时，数列通项公式为 ；（Ⅱ）当时，对任意都有，则的值为 ．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果给分．）15．（极坐标与参数方程）已知抛物线的极坐标方程为，若斜率为的直线经过抛物线的焦点，与圆相切，则．16．（几何证明选讲）如图，过半径为的上的一点引半径为的的切线，切点为，若与内切于点，连结与交于点，则 ．三、解答题：本大题共6小题，共分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知中，角的对边分别为，，向量，，且．（Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）当取得最大值时，求角的大小和的面积．18．（本小题满分12分）某象棋比赛规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲、乙每局获胜的概率分别为和，且各局比赛胜负互不影响.（Ⅰ）求比赛进行局结束，且乙比甲多得分的概率；（Ⅱ）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点，．（Ⅰ）点在线段上，，试确定的值，使平面；（Ⅱ）在（I）的条件下，若平面平面ABCD，求二面角的大小．20．（本小题满分12分）数列中，已知，时，．数列满足：．（Ⅰ）证明：为等差数列，并求的通项公式；（Ⅱ）记数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对；若不存在，说明理由．21．（本小题满分13分）我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．如图，“盾圆”是由椭圆与抛物线中两段曲线弧合成，为椭圆的左、右焦点，．为椭圆与抛物线的一个公共点，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求定积分时，可以使用下面的换元法公式：函数中，令，则（其中）．如．阅读上述文字，求“盾圆”的面积．（）过作一条与轴不垂直的直线，与“盾圆”依次交于四点，和分别为的中点，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．22．（本小题满分14分）．（Ⅰ）当时，求函数的最小值；（Ⅱ）证明：对，都有；（Ⅲ）若，证明： ．数学（理）试卷 12答案： 13答案：14答案：（1）；（2）或 15答案： 16答案：1答案：B解析：设，则，则．2答案：B解析：甲乙，例如，；乙甲，“若，则或”的逆否命题为“若且，则”此逆否命题为真命题，所以原命题为真命题．3答案：C解析：由题易知，故，这样的双曲线标准方程有两个．4答案：D解析：排除法．偶数字相邻，奇数字也相邻有，然后减去在首位的情况，有，故．5答案：A解析：由得，，所以．6答案：B解析：样本的众数为最高矩形底边中点对应的横坐标，为中位数是频率为时，对应的样本数据，由于，故中位数为．7答案：A解析：设方格边长为，则．8答案：C解析：此几何体．9答案：A解析：设，建立如图所示坐标系，则，，，故．10答案：C解析：由题（为常数），则故，得，故，记在上为增函数且,故方程的解所在的区间是（1，2）12答案：解析：由题意，得：当时，执行最后一次循环；当时，循环终止，这是关键，输出．13答案： 解析：14答案：（1）；（2）或解析：（Ⅰ）若时,则．（Ⅱ）当时知，，所以，，且．①当时，，故（舍去）②当时，，故（舍去）综上，或15答案：解析：将化为普通方程即，得16答案：解析：作两圆的公切线，连结，，则所以由弦切角定理知，，则,,所以，即.17答案：（），所以 即，因为，所以所以 ． 4分（2）由，故由，故最大值时，． 8分由正弦定理，，得故． 12分18答案：（Ⅰ）比赛进行局结束，且乙比甲多得分即头两局乙胜一局，3,4局连胜，则所求概率为. 4分的取值为. 则，故的分布列为10分 12分19解：（I）当时，平面证明：连交于．由可得，，．若，即， 由平面，故平面 4分（II）由PA=PD=AD=2， Q为AD的中点，则PQ⊥AD又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，连BD，∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB， 由 ∠BAD=60°得△ABD为正三角形，又∵Q为AD中点， ∴AD⊥BQ 分以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A（1，0，0），B（），Q（0，0，0），P（0，0，）设平面MQB的法向量为，可得，令z=1，解得取平面ABCD的法向量， 故二面角的大小为60°．时，得，两边同时乘以得，，即时，故是公差为的等差数列．又， 所以． 6分方法2：时，，代入整理得，故是公差为的等差数列．(Ⅱ)由(Ⅰ)得，，故，所以 8分则因为，得当时，；当时，综上，存在符合条件的所有有序实数对为． 12分21解答：（Ⅰ）由的准线为，，故记又，所以，故椭圆为． 3分（Ⅱ）由知，，令；根据对称性， “盾圆”的面积为． 7分（Ⅲ）设过的直线为，联立，得，则联立，得，则由共线，所以代入韦达定理整理得，故为定值． 13分22答案：（Ⅰ）时，，()，则．令，得．当时，，在是减函数，当时，，在是增函数， 所以 在时取得最小值，即． （4分）（Ⅱ）因为 ，所以 ． 所以当时，函数有最小值．x1，x2∈R+，不妨设，则． （8分）（Ⅲ）（证法一）数学归纳法?)当时，由（Ⅱ）知命题成立．?）假设当( k∈N*)时命题成立，即若，则．当时，，，…，，满足 ．设，由（Ⅱ）得==．由假设可得 ，命题成立．所以当 时命题成立．由?)，?）可知，对一切正整数n∈N*，命题都成立，所以 若，则 ． （13分）（证法二）若，那么由（Ⅱ）可得． （14分）Oy第21题图第19题图DQPMCBA第16题图’‘M第9题图DBAOC第8题图正视图2俯视图124侧视图是否 n =1?输出k是n＝5，k＝0结束k＝k +11n为偶数n＝3n+1否开始第12题图第6题图3.52.51.50.50.500.440.300.160.08频率/组距用水量(吨)4.543210DE第16题图’‘Mxy第9题图DBAOCx湖北省黄冈中学届高三第一次模拟考试数学理试题
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