时量：120分钟 分值：150分 命题人；周振羽一、选择题（本大题共1小题，每小题分，共0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 已知集合的值为 A．1或－1或0 B．－1C．1或－1D．0，则复数（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.下列有关命题的叙述: ①若pq为真命题，则pq为真命题。②“”是“”的充分不必要条件。③命题P：x∈Ｒ，使得x＋x-10)是双曲线的左焦点，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x2+y2=c2交于点P，且点P在抛物线y2=4cx上，则该双曲线的离心率A. B. C. D. 10.已知定义在上的函数，且， 有穷数列（）前项和于等于( )A．4 B．5 C．6 D． 7二 ，填空题： 本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上（一）选做题（请考生在第11.12.13三题中选两题作答案，如果全做，则按前两题记分 ）11．在直角坐标系曲线C的参数方程为（为参数）直线的参数方程为（为参数点.设直线l与曲的值为　　　　　.12. 已知函数f(x)＝x－2，若?a≠0，且a，bR，都有不等式a＋b＋a－b≥a?f(x)成立，则实数x的取值范围是　　　　在（的二项展开式中，的系数为 ．15. 已知实数满足，时，目标函数的最值的最小值为 ．16．已知集合，对于数列中.①若三项数列满足，则这样的数列有________．②若各项非零数列和新数列满足首项，（），且末项，记数列的前项和为，则的最大值为________．三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）设函数.（Ⅰ）写出函数的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）当时，函数的最大值与最小值的和为，求的解析式；（Ⅲ）将满足（Ⅱ）的函数的图像向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移个单位，得到函数，求图像与轴的正半轴、y轴、直线所围成图形的面积。18.(本小题满分12分）如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，，．（）；（）与平面所成角的正弦值； （）上是否存在点，使// 平面？若存在，求出；若不存在，说明理由． 19．（本小题满分12分）3月1日,部分高校在湖南省城长沙举行自主招生笔试，岳阳、长沙两城之间开通了高速列车，假设岳阳到长沙每天8：00?9：00，9：00?10：00两个时间段内各有一趟列车从岳阳到长沙（两车发车情况互不影响），岳阳发车时间及其概率如下表所示 ：发车时间8:108:308:509:109:309:50概率若甲、乙两位同学打算从岳阳到长沙参加自主招生，假设他们到达岳阳火车站候车的时间分别是周五8：00和周六8：20.（只考虑候车时间，不考虑其它因素）（1）设乙同学候车所需时间为随机变量X，求X的分布列和数学期望；（2）求甲、乙二人候车时间相等的概率.20. (本小题满分1分)某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为元,并且每件商品需向总店交元的管理费,预计当每件商品的售价为元时,一年的销售量为万件．（Ｉ）求该连锁分店一年的利润（万元）与每件商品的售价的函数关系式（II）当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润最大,并求出的最大值．(本小题满分1分)已知抛物线y2=2px (p>0)上点T(3，t)到焦点F的距离为4(Ⅰ)求t，p的值；(Ⅱ)设抛物线（其中 O为坐标原点）.(?)求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标；(?)过点P作AB的垂线与抛物线交于C、D两点，求四边形ACBD面积的最小值.22. (本小题满分1分)已知f(x)＝xlnx－ax，g(x)＝-x2－2，（）对一切x(0, +∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；（）当a＝－1时，求函数f(x)在[m，m＋3]( m＞0)上的最值；（）证明：对一切x(0, +∞)，都有lnx＋1＞成立。A C B C D D D A D B　　　二 ，填空题：11. 8 12. 0≤x≤4 13. 90o 14. -40 15. 6 16. ① ②10.【答案】B ，因为，所以，即函数单调递减，所以.又，即，即，解得（舍去）或.所以，即数列为首项为，公比的等比数列，所以，由得，解得，选B.11．解：点在直线上。直线的参数方程为（为参数），曲线C的直角坐标方程为将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，有设两根为，解：a＋b＋a－b≥a?f(x)及a≠0得f(x)≤恒成立，而≥＝2，则f(x)≤2，从而x－2≤2，解得0≤x≤4.有两种情形：，这样的数列只有个；，这样的数列有个，所以符合题意的数列有个． （Ⅱ）因为数列满足，所以，因为首项，所以． 根据题意有末项，所以， 而，于是为正奇数，且中有个和个，，要求的最大值，则要求的前项取，后项取．所以三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）设函数.（Ⅰ）写出函数的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）当时，函数的最大值与最小值的和为，求的解析式；（Ⅲ）将满足（Ⅱ）的函数的图像向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移，得到函数，求图像与轴的正半轴、直线所围成图形的面积。17.【答案】解（Ⅰ），（2分） ∴. 由，得. 故函数的单调递减区间是. （4分）当时，原函数的最大值与最小值的和，.（8分）由题意知 （10分） =1 （12分）18.(本小题满分12分）如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，，．（）；（）与平面所成角的正弦值； （）上是否存在点，使// 平面？若存在，求出；若不存在，说明理由． 18. (本小题满分12分）【答案】解：（1）证明：取中点，连结，．因为，所以．因为四边形为直角梯形，，，所以四边形为正方形，所以． 所以平面．所以 ．…………4分（2）解法1：因为平面平面，且,所以BC⊥平面则即为直线与平面所成的角,设BC=a，则AB=2a，，所以,则直角三角形CBE中，即直线与平面所成角的正弦值为． ……………8分解法2：因为平面平面，且 ，所以平面，所以． 由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，则．所以 ，平面的一个法向量为．设直线与平面所成的角为，所以 ， 即直线与平面所成角的正弦值为．…8分 （3）解：存在点，且时，有// 平面． 证明如下：由 ，，所以．设平面的法向量为，则有所以 取，得．因为 ，且平面，所以 // 平面． 即点满足时，有// 平面．………………12分19．（本小题满分12分）3月1日部分高校在湖南省城长沙举行自主招生笔试，岳阳、长沙两城之间开通了高速列车，假设岳阳到长沙每天8：00?9：00，9：00?10：00两个时间段内各有一趟列车岳阳到长沙（两车发车情况互不影响），岳阳发车时间及其概率如下表所示 ：发车时间8:108:308:509:109:309:50概率若甲、乙两位同学打算从岳阳到长沙参加自主招生，假设他们到达岳阳火车站候车的时间分别是周五8：00和周六8：20.（只考虑候车时间，不考虑其它因素）（1）设乙同学候车所需时间为随机变量X，求X的分布列和数学期望；（2）求甲、乙二人候车时间相等的概率.19. (本小题满分12分）解：（1）X的所有可能取值为10、 30、 50、 70、90（分钟）...........2分其概率分布列如下X1030507090P ....6分（2）甲、乙二人候车时间分别为10分钟、30分钟、50分钟的概率为 ， ，；………8分， ，………10分所以＝++＝＝，即甲、乙二人候车时间相等的概率为………12分20. (本小题满分1分)某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为元,并且每件商品需向总店交元的管理费,预计当每件商品的售价为元时,一年的销售量为万件．（Ｉ）求该连锁分店一年的利润（万元）与每件商品的售价的函数关系式（II）当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润最大,并求出的最大值．解: （Ⅰ）由题得该连锁分店一年的利润（万元）与售价的函数关系式为. （Ⅱ）令，得或 .①当，即时，时，，在上单调递减，故 ②当，即时，时，；时，在上单调递增；在上单调递减，故答:当每件商品的售价为7元时,该连锁分店一年的利润最大,最大值为万元；当每件商品的售价为元时,该连锁分店一年的利润最大,最大值为万元. (本小题满分1分)已知抛物线y2=2px (p>0)上点T(3，t)到焦点F的距离为4(Ⅰ)求t，p的值；(Ⅱ)设抛物线（其中 O为坐标原点）.(?)求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标；(?)过点P作AB的垂线与抛物线交于C、D两点，求四边形ACBD面积的最小值.21. (本小题满分1分)解：(Ⅰ)由已知得，所以抛物线方程为y2=4x，代入可解得.……分(Ⅱ)?)设直线AB的方程为，、 ，联立得，则，.…………6分得：或（舍去），即，所以直线AB过定点；………8分?)由(?)得，同理得，则四边形ACBD面积，令，则是关于的增函数，故.当且仅当时取到最小值96. ………13分 (本小题满分1分)已知f(x)＝xlnx－ax，g(x)＝-x2－2，（）对一切x(0, +∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；（）当a＝－1时，求函数f(x)在[m，m＋3]( m＞0)上的最值；（）证明：对一切x(0, +∞)，都湖南省岳阳市一中届高三第六次质量检测试题 数学（理） Word版含答案
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