江苏省高三百校大联考数学试卷参考答案与评分标准数学Ⅰ参考公式：样本数据，其中．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上1．已知集合，则满足的集合的个数是 ▲ ．，集合的个数即的子集个数，共个．2. 已知，其中i为虚数单位，则 ▲ ．因为，所以，a＝1，b＝2，＝3．． 从中随机取出个不同的数，其和为奇数的概率为．【解析】本题考查古典概型．基本事件总数为6，符合要求的事件数为4，故所求概率为．4．满足，则的夹角为 ▲ ．．【解析】本题考查平面向量的垂直和数量积的计算．因为，所以，即＝0，所以， ，即，则的夹角为．5. 设五个数值3137，33，，35的是34，则这组数据的方差是．【答案】4【解析】由，可得，所以方差，满足，则的最大值是 ▲ ．【解析】本题考查线性规划．可行域为三角形区域，最优解为．7．执行如图所示的流程图，则输出S的值为 ▲ ．【答案】420【解析】本题考查流程图和循环结构．．8．已知直线、与平面、，，则下列命题中正确的是 ▲ （填写正确命题对应的序号）．①若，则 ②若，则③若，则 ④若，则【答案】③【解析】本题考查线面及面面位置关系的判断．由面面垂直的判定定理可得答案为③．9．．【解析】本题考查同角三角函数的基本关系和两角和（差）的正弦、余弦．根据题意，，所以，故，，因此．10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，且与直线x－y－＝0相切，则圆C的半径为．解析：可设圆心为(2，b)，半径r＝，则＝，解得b＝1．r＝．答案：1已知椭圆，、是长轴的两个端点，是椭圆上关于x轴对称的两点，直线的斜率分别为，，则椭圆的离心率为．11．【答案】【解析】本题考查椭圆的标准方程和几何性质．设，则，，可得，从而．12．若，且，则 的最大值是 ▲ ．【解析】由得，，所以，当且仅当时取到等号．13．为等差数列，首项，公差，若成等比数列，且，，，则数列的通项公式 ▲ ．【解析】本题考查等差数列和等比数列．由题意，，，得，即，所以．又等比数列的公比为3，所以．根据可得．14．若函数不存在零点，则实数的取值范围是 ▲ ．【解析】本题考查函数的性质与方程思想及数形结合思想．解法一：由题意可知，可设，函数图象(图1)与直线没有交点，则．解法二：如图(2)，在同一坐标系中画出和的图象．显然当直线与抛物线相切，所以当时，没有交点．故．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤15．（本小题满分14分）在中，的对边分别是，已知平面向量，，且．（）的值；（），求边的值．15．【解析】（）由 …………………………2分得分 由于中，，分 ………………………………………………………6分（）由得7分即，9分得，，平方得12分所以为正三角形，………………………………………………… 14分16．（本小题满分14分）如图，四棱锥E－ABCD中，EA＝EB，ABCD，ABBC，AB＝2CD．求证：ABED；线段EA上是否存在点F，DF∥平面BCE？说明理由．证明：取AB中点O，连结EO，DO.因为EA＝EB，所以EOAB. …………………………1分因为ABCD，AB＝2CD，所以BOCD，BO＝CD.又因为ABBC，所以四边形OBCD为矩形，所以ABDO. ……………………………………………4分因为EO∩DO＝O，所以AB平面EOD.分又因为ED平面EOD，所以ABED. ……………………………………………6分点F为EA中点时，有DF平面BCE.证明如下：取EB中点G，连结CG，FG.因为F为EA中点，所以FGAB，FG＝AB.分因为ABCD，CD＝AB，分所以FGCD，FG＝CD.10分所以四边形CDFG是平行四边形，11分所以DFCG. ……………………………………………12分因为DF平面BCE，CG平面BCE，所以DF平面BCE.14分17．（本小题满分14分）如图，ABCD是边长为1百米的正方形区域，现规划建造一块景观带△ECF，其中动点E、分别CD、BC上的最值；（2）当a=2时，请计算出从A点欣赏此景观带的视角（即EAF）．17．解析：（1）设，则（※） 由基本不等式，……… 3分 所以，△ECF的面积……………… 5分 当且仅当时等号成立 故景观带面积的最值……………………………………… 6分（2）记，, 则 故 由（※）可得，，即………………… 10分代入上式可得，=1 所以 故当时，视角为定值……………………………………………… 14分18．（本小题满分16分）已知椭圆C右焦点，A、B椭圆C的左、右顶点，P是椭圆C上异于A、B的动点，且APB面积的最大值为．（1）求椭圆C的方程；（2）直线AP与交于点D，以BD为PF相切．18．解析：（1）的方程为．由题意知解得． 故椭圆的方程为．……………………6分（2）的方程为.则点坐标为，中点的坐标为．由得．设点的坐标为，则．所以，．………………………………………10分因为点坐标为，当时，点的坐标为，点的坐标为.直线轴，此时以为直径的圆与直线相切．…11分当时，则直线的斜率.所以直线的方程为． …………………………………………13分点到直线的距离．…………15分又因为 ，所以．故以为直径的圆与直线相切．综上得，以为直径的圆与直线相切． ………………………………………16分19．（本小题满分16分）若数列的前项和为，且满足等式.（1）数列的；（2）能否在数列中找到按原来顺序成等差数列说明理由；，记函数的图象在轴上截得的线段长为，设，求，并证明：．【解析】（1）当时，，则. 又，所以，两式相减得， 即 是首项为1，公比为的等比数列， 所以 4分 假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为 则，即，所以，即，即 又，，所以 所以 假设不成立，所以不存在三项按原来顺序成等差数列分与轴交点为 ，当=0时有又， ………………………………14分………………………………16分20．（本小题满分16分）已知函数．若大值为，求实数的值；若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；时，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由．：（1）由，得，，得或．变化时，及的变化如下表：-+-?极小值?极大值?所以的极大值为=，．4分（2）由，得．，即 恒成立，即……………………………………………6分，求导得，，当时，，从而，在上为增函数，，．8分（3）由条件，，上存在两点，满足题意，则，只能在轴两侧，……9分，则，且．是以为直角顶点的直角三角形，， （*），等价于方程在且时是否有解．11分①若时，方程为，化简得，此方程无解；…………………………………………………………………………………………12分②若时，方程为，即，设，则，显然，当时，，即在上为增函数，的值域为，即，当时，方程（*）．对任意给定的正实数，曲线 上总存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．：几何证明选讲如图，O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为O上一点，AE＝AC，求证：PDE＝POC.【解析】因AE＝AC，AB为直径，故∠OAC＝∠OAE.所以∠POC＝∠OAC＋∠OCA＝∠OAE＋∠OAC＝∠EAC.又∠EAC＝∠PDE，所以∠PDE＝∠POC.10分B．：矩阵与变换已知矩阵A＝，向量β＝．求向量α，使得A2α＝β．【解析】∵A＝，∴A2＝＝．3分设α＝，则A2α＝β?＝?＝.…………8分解得∴α＝． 10分C．：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos．若直线l与曲线C交于A，B两点，求AB的．【解析】l的直角坐标方程为y＝x＋，3分ρ＝2cos的直角坐标方程为2＋2＝1，6分∴圆心到直线l的距离d＝，8分∴AB＝．10分D．：不等式选讲若正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求＋＋的最小值．【解析】因为正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，所以[(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)] ≥(1＋1＋1)2，6分即＋＋≥1，8分当且仅当3a＋2＝3b＋2＝3c＋2，即a＝b＝c＝时，原式取最小值1. 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．甲乙丙三人商量周末，甲提议去，乙提议去，丙表示随意．最终，商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上则甲得一分乙得零分反面朝上则乙得一分甲得零分先得4分者获胜三人均执行胜者的提议记所需抛掷硬币次数为X（1）求的概率；（2）求X的分布列和期望【解析】（1）（2）X4567P……………………………8分∴………………………………………………10分23．（本小题满分10分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD， EF // AB，∠BAF=90o， AD= 2，AB=AF=2EF =1，点P在棱DF上．（1）若P是DF的中点， 求异面直线BE与CP所成角的余弦值； （2）若二面角D-AP-C的余弦值为，求PF的长度．23. 解析：（1）因为∠BAF=90o，所以AF⊥AB， 因为 平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF ∩平面ABCD= AB， 所以AF⊥平面ABCD，因为四边形ABCD为矩形，所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角江苏省高三百校大联考数学试卷（纯word版）
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