数学试卷（文史类） 2019.1
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项.
1.已知集合A{1,0,1},B{x1x1}，则AIB=
A．{0,1}

B．{1,0} C．{0} D．{1,0,1}
2. 下列函数中，既是奇函数又存在零点的是
A．f(x)
3. 执行如图所示的程序框图，则输出的i值为
A．3 B．4 C．5 D．6
第3题图
4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 B．f(x)1 C．f(x)ex D．f(x)sinx x
1
A．30辆 B．300辆
C．170辆 D．1700辆
频率 km/h）
第 4题图
5. 已知m，n表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，且m，n,则下
列说法正确的是
A．若//，则m//n B．若m，则
C．若m//，则// D．若，则mn
6.设斜率为2的直线l过抛物线yax(a0)的焦点F,且与y轴交于点A,若OAF（O为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为
A.y24x B. y24x C. y28x D. y28x
7. 已知A,B为圆C:(xm)(yn)9(m,nR)上两个不同的点（C为圆心），且满

足|CACB|，则AB 222
A. 23 B. C. 2 D. 4
8. 设函数f(x)的定义域为D，如果存在正实数m，使得对任意xD，当xmD时，都有f(xm)f(x)，则称f(x)为D上的“m型增函数”.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)xaa（aR），若f(x)为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是
A. a0 B. a20 C. a10 D. a5
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
9.计算:i(1i) (i为虚数单位).
y2
10. 双曲线x1的渐近线方程为 3
111. 在ABC中，若BC1，AC2，cosC，则ABsinA. 42
2x

y

0112．已知正数x，y满足约束条件，则z()2xy的最小值为. 2x3y50
13.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是.
俯视图

侧视图
第13题图
14. 在ABC中，ABAC，D为线段AC的中点，若BD的长为定值l，则ABC 面积的最大值为 （用l表示）

）.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15. （本小题满分13分）
已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是各项均为正数的等比数列，且a1b13，a2b214，a3a4a5b3．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cnanbn,nN*，求数列{cn}的前n项和．
16. （本小题满分13分）

已知函数f(x)cos2xxcosxa的图象过点(,1).
（Ⅰ）求实数a的值及函数f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f(x)在[0,]上的最小值. 617. （本小题满分13分）
某中学从高一年级、高二年级、高三年级各选1名男同学和1名女同学，组成社区服务小组．现从这个社区服务小组的6名同学中随机选取2名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．
（Ⅰ）求选出的2人都是女同学的概率；
（Ⅱ）设 “选出的2人来自不同年级且是1名男同学和1名女同学”为事件N，求事件N发生的概率．
18. （本小题满分14分）
如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．
（Ⅰ）求证：AB∥EF；
（Ⅱ）若PAAD，且平面PAD平
面ABCD，试证明AF平面PCD；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段PB上是否存在点 AM,使得EM平面PCD?（直接给出结论，不
需要说明理由）
19. （本小题满分13分）
k2x，kR. x
（Ⅰ）当k1时，求曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
（Ⅱ）当ke时，试判断函数f(x)是否存在零点,并说明理由；
（Ⅲ）求函数f(x)的单调区间. 已知函数f(x)(2k1)lnx
20. （本小题满分14分）
已知圆O:xy1的切线l与椭圆C:x3y4相交于A，B两点.
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）求证:OAOB；
（Ⅲ）求OAB面积的最大值.
2222
北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期期末高三年级统一考试
数学答案（文史类） 2019.1
一、选择题：（满分40分）

4
二、填空题：（满分30分）

（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）
三、解答题：（满分80分）
15. （本小题满分13分）
解:（Ⅰ）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，且q0.
依题意有，
a1db1q14, 23(a3d)bq.11
由a1b13,又q0，
解得q3, d2.
所以ana1(n1)d32(n1)2n1,即an2n1,nN.
bnb1qn133n13n,nN. „„„„„„„„„„„„„„„7分 （Ⅱ）因为cnanbn2n1᠄

3;3n,
所以前n项和Sn(a1a2an)(b1b2bn) 

(352n1)(31323n)
n

(32n1)3(13n)  213
3 n(n2)(3n1). 2
所以前n项和Snn(n2)
16. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由f(x)cos2xxcosxa 3n(31),nN*．„„„„„„„„„„„„13分 21cos2xa 25sin(2x)
61
a. 2
6
11
所以f()sin(2)a1.解得a.
66622
函数f(x)的最小正周期为. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分
因为函数f(x)的图象过点(,1)， （Ⅱ）因为0x
，所以2x. 2

则sin(2x).

1
所以当2x，即x时，函数f(x)在[0,]上的最小值为. „„„„„13分
22
17.（本小题满分13分）
解：从高一年级、高二年级、高三年级选出的男同学分别记为A，B，C，女同学分别记为
X，Y，Z．
从6名同学中随机选出2人参加活动的所有基本事件为：
{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}， {C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15个． „„„„„4分 （Ⅰ）设“选出的2人都是女同学”为事件M，
则事件M包含的基本事件有{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共3个， 所以，事件M发生的概率 P(M)（Ⅱ）事件N包含的基本事件有
{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6个， 所以，事件N发生的概率 P(N)
31
．„„„„„„„„„„„„„„8分 155
62
． „„„„„„„

„„„„„„„13分 155
18. （本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是正方形， 所以AB∥CD．
又因为AB平面PCD，CD平面PCD， 所以AB∥平面PCD．
又因为A,B,E,F四点共面，且平面
ABEF平面PCDEF，
所以AB∥EF．„„„„„„„„5分 （Ⅱ）在正方形ABCD中，CDAD．

6
第6 / 10页
又因为平面PAD平面ABCD， 且平面PAD平面ABCDAD，
所以CD平面PAD．
又AF平面PAD 所以CDAF． 由（Ⅰ）可知AB∥EF，
又因为AB∥CD,所以CD∥EF.由点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点． 在△PAD中，因为PAAD，所以AFPD．
又因为PDCDD，所以AF平面PCD．„„„„„„„„„„„„„11分 （Ⅲ）不存在． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„14分
19. （本小题满分13分）
解：函数f(x)的定义域：x(0,).
2k1k2x2(2k1)xk(xk)(2x1)
f(x)22. 22
xxxx1
2x. x
(x1)(2x1)
f(x). 2
x
（Ⅰ）当k1时，f(x)lnx
有f(1)ln1123，即切点（1,3），
kf(1)
(11)(21)
2. 2
1
所以曲线yf(x)在点(1,f(1))处切线方程是y32(x1)，
即y2x1.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分
（Ⅱ）若ke，f(x)(2e1)lnx
f(x)
e
2x. x
(xe)(2x1)
.
x2
令f(x)0，得x1e（舍），

x2
1
. 7
第7 / 10页
11e1
则f(x)minf()(2e1)ln22(1ln2)eln210.
2212
2
所以函数f(x)不存在零点.

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分
(xk)(2x1)
.
x2
当k0，即k0时，
（Ⅲ） f(x)
当

0k
11
，即k0时， 当k
，即k时， 22 当k
11
，即k时，

22
8
第8 / 10页
综上，当k0时，f(x)的单调增区间是(,);减区间是(0,).
1212
111k0时，f(x)的单调增区间是(0,k),(,);减区间是(k,). 2221
当k时，f(x)的单调增区间是(0,);
211
当k时，f(x)的单调增区间是(0,)，(k,);
22
1
减区间是(,k). „„„„„„„„„„„13分
2
当
20. （本小题满分14分）
2
解：（Ⅰ）由题意可知a4，b
2
48222
，所以cab． 33
所以e
c．所以椭圆C的离心率为 „„„„„„„„„„3分 
a33
（Ⅱ）若切线l的斜率不存在，则l:x1．
x23y21中令x1得y1． 在44

不妨设A(1,1),B(1,1)，则OAOB110．所以OAOB．
同理，当l:x1时，也有OAOB． 若切线l的斜率存在，设l:ykxm1，即k21m2．
由
ykxm222
，得(3k1)x6kmx3m40．显然0． 22
x3y4
6km3m24
设A(x1,y1)，B(x2,y2),则x1x22，x1x2．
3k13k21
所以y1y2(kx1m)(kx2m)kx1x2km(x1x2)m.
2
2
22
所以OAOBx1x2y1y2(k1)x1x2&

#61483;km(x1x2)m
9

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3m246km
(k1)2km2m2
3k13k1
2
(k21)(3m24)6k2m2(3k21)m2
 2
3k1
4m24k244(k21)4k240． 22
3k13k1
所以OAOB．
综上所述，总有OAOB成立． „„„„„„„„„„„„„„„„„„9分
（Ⅲ）因为直线AB与圆O相切，则圆O半径即为OAB的高. 当l的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知AB2．则SOAB1. 当l的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，

AB



 2
3k

1


 4(1k2)(9k21)4(9k410k21)4k2
所以AB4(14)
(3k21)29k46k219k6k21
2
k216416
44

4164
19k6k21332
9k26
k
（当且仅当k时，等号成立）．

所以ABmax

, (SOAB)max.

时，

OAB面积的最大值为．„„„„14分 33
综上所述，当且仅当k

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