数学试卷（文科） 2019.4
本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1．已知集合A＝ ，B＝ ，则 ＝
A．   B．   C．  D．
2、已知向量 ，若 ，则t ＝
A．1  B．2  C．3　　　 D．4
3．某程序的框图如图所示，若输入的z＝i（其中i为虚数单位），则输出的S 值为
A．－1 　　
B．1 　　　
C．－i 　　
D．i
4．若x，y 满足 ，则 的值为
A． 　　　　B．3
C． 　　　　D．4
5．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为
A． 　　　B．
C． 　　D．
6、已知点P 在抛物线W： 上，且点P到W的准线的距离与点P到x轴的距离相等，则 的值为
　A、 　　　B、1　　　　C、 　　　　D、2
7．已知函数 ，则“ ”是“函数 是偶函数“的
A．充分不必要条件 　　B．必要不充分条件
C．充分必要条件 　　　D．既不充分也不必要条件
8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值
如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和，则
下列叙述正确的是

A．甲只能承担第四项工作 　　B．乙不能承担第二项工作
C．丙可以不承担第三项工作 　D．获得的效益值总和为78
二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．
9．函数 的定义域为＿＿＿
10．已知数列 的前n项和为 ，且 ，则 ＝_______．
11．已知l 为双曲线C： 的一条渐近线，其倾斜角为 ，且C 的右焦点为（2,0），点C的右顶点为＿＿＿＿，则C 的方程为_______．
12．在 这三个数中，最小的数是_______．
13．已知函数 ，若 ，则函数 的单调增区间为＿＿
14．给定正整数k≥2，若从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任取k个顶点，组成一个集合M＝ ，均满足 ，使得直线 ，则k的所有可能取值是＿＿＿
三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
15．（本小题满分13 分）
在△ABC 中，∠C＝ ， ．
（Ⅰ）若c＝14，求sinA的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积为3 ，求c的值．
16．（本小题满分13 分）
已知数列 是等比数列，其前n项和为 ，满足 ， 。
（I）求数列 的通项公式；
（II）是否存在正整数n，使得 ＞2019？若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理由。

17．（本小题满分14 分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M ，N
分别为线段PB，PC 上的点，MN⊥PB
（Ⅰ）求证： 平面PBC⊥平面PAB ；
（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M N ∥平面ABCD；
（Ⅲ）当AB＝3，PA＝4时，求点A到直线MN距离的最小值。

18．（本小题满分13 分）
一所学校计划举办“国学”系列讲座。由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示。
（I）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；
（II）这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为 ， ，试比较 与 的大小（只需直接写出结果）；
（III）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率。（注：成绩大于等于75分为优良）

19．（本小题满分14 分）
已知椭圆C： 的离心率为 ，椭圆C 与y 轴交于A ， B 两点，
且｜AB｜＝2．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且直线PA，PB与直线x＝4分别交于M ， N 两点．是否存在点P使得以MN 为直径的圆经过点（2,0）？若存

存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由。

20．（本小题满分13 分）
已知函数f (x) ＝
（Ⅰ）求曲线 f (x)在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f (x)的零点和极值；
（Ⅲ）若对任意 ，都有 成立，求实数 的最小值。

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案
数学（文科） 2019.4
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D C A B A B
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，
共30分）
9．

说明：1.第9题,学生写成 的不扣分
2.第13题写成开区间 的不扣分,
没有写 的,扣1分
3. 第14题有错写的，则不给分
只要写出7或8中之一的就给1分，两个都写出，没有其它错误的情况之下给1分
写出5，6中之一的给2分，两个都写出，且没有错误的情况之下给4分

三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15.解：(Ⅰ) 方法一：
在 中，因为 ， ……………………….2分
即 ……………………….3分
所以 . ……………………….5分

方法二：过点 作线段 延长线的垂线，垂足为
因为 ，所以 ……………………….1分
在 中， ……………………….3分
在 中， ……………………….5分
（Ⅱ）方法一：
因为 . ……………………….7分
所以 ，解得 . ……………………….9分
又因为 . …………………….11分
所以 ,
所以 . …………………….13分
方法二：过点 作线段 延长线的垂线，垂足为
因为 , 所以 .
又因为 , ……………………….7分
即 ,
所以 . ……………………….9分
在 中， . ……………………….11分
所以 . …………………….13分
16.解：
(Ⅰ) 设数列 的公比为 ，
因为 ，所以 . ……………………….1分
因为 所以 ……………………….2分
又因为 ， ……………………….3分
所以 , ……………………….4分
所以 （或写成 ） ……………………….7分
说明：这里的 公式都单独有分，即如果结果是错的，但是通项公式或者下面的前n项和公式正确写出的，都给2分
(Ⅱ)因为 . ……………………….10分
令 , 即 ，整理得 . ……………………….11分
当 为偶数时，原不等式无解；
当 为奇数时，原不等式等价于 ，解得 ，
所以满足 的正整数 的最小值为

11. ……………………….13分
17解：（Ⅰ）证明：在正方形 中， . ……………………….1分
因为 平面 ， 平面 ，所以 . ……………………….2分
又 ， 平面 ， ……………………….3分
所以 平面 . ……………………….4分
因为 平面 , 所以平面 平面 . ……………………….5分
（Ⅱ）证明：
由（Ⅰ）知, 平面 ， 平面 ，所以 . ……………………….6分
在 中， ， ， 所以 ， ……………………….7分
又 平面 ， 平面 ， ……………………….9分
所以 //平面 . …………………….10分
（Ⅲ）解：因为 , 所以 平面 ， …………………….11分
而 平面 ，所以 ， …………………….12分
所以 的长就是点 到 的距离， …………………….13分
而点 在线段 上
所以 到直线 距离的最小值就是 到线段 的距离，
在 中， 所以 到直线 的最小值为 . …………………….14分

18.解:
（Ⅰ）设这10名同学中男女生的平均成绩分别为 .
则 ……………………….2分
……………………….4分
（Ⅱ）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差. ……………………….7分
（Ⅲ）设“两名同学的成绩均为优良”为事件 ， ……………………….8分
男生按成绩由低到高依次编号为 ，
女生按成绩由低到高依次编号为 ，
则从10名学生中随机选取一男一女两名同学共有24种取法 …………………….10分
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
其中两名同学均为优良的取法有12种取法 …………………….12分
， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ，
所以 ，
即两名同学成绩均为优良的概率为 . …………………….13分
19. 解：
（Ⅰ）由已知 ，得知 ， , ……………………….1分
又因为离心率为 ，所以 . ……………………….2分
因为 ，所以 , ……………………….4分
所以椭圆 的标准方程为 . ……………………….5分
（Ⅱ）解法一：假设存在.
设
由已知可得 ，
所以 的直线方程为 ， ……………………….6分
的直线方程为 ，
令 ，分别可得 ， ， ……………………….8分
所以 ， ……………………….9分
线段 的中点 ， ……………………….10分
若以 为直径的圆经过点 ，
则 , ……………………….11分
因为点 在椭圆上，所以 ，代入化简得 ， ……………………….13分
所以 ， 而 ，矛盾，
所以这样的点 不存在. ……………………….14分
解法二：
假设存在，记 .
设

由已知可得 ，
所以 的直线方程为 ， ……………………….6分
的直线方程为 ，
令 ，分别可得 ， ， ……………………….8分
所以
因为 为直径，所以 ……………………….9分
所以
所以 ……………………….11分
因为点 在椭圆上，所以 ， ……………………….12分
代入得到 ……………………….13分
所以 ，这与 矛盾 ……………………….14分
所以不存在
法三 ：
假设存在，记 ,
设
由已知可得 ，
所以 的直线方程为 ， ……………………….6分
的直线方程为 ，
令 ，分别可得 ， ， ……………………….8分
所以
因为 , 所以 ……………………….9分
所以
所以 ……………………….11分
因为点 在椭圆上，所以 ， ……………………….12分
代入得到 ,
解得 或 ……………………….13分
当 时，这与 矛盾
当 时，点 在 轴同侧，矛盾
所以不存在 ……………………….14分
20.解：（Ⅰ）因为 ， ……………………….1分
所以 . ……………………….2分
因为 ，所以曲线 在 处的切线方程为 .……………………..4分
（Ⅱ）令 ，解得 ，
所以 的零点为 . ……………………….5分
由 解得 ，
则 及 的情况如下：

极小值

……………………….7分
所以函数 在 时,取得极小值 ……………………….8分

（Ⅲ）法一：
当 时， .
当 时， . ……………………….9分
若 ，由（Ⅱ）可知 的最小值为 ， 的值为 ，…………………….10分
所以“对任意 ，有 恒成立”等价于
即 ， ……………………….11分
解得 . ……………………….12分
所以 的最小值为1. ……………………….13分
法二：
当 时， .
当 时， . ………………………. 9分
且由（Ⅱ）可知， 的最小值为 ， ……………………….10分
若 ，令 ，则
而 ，不符合要求，
所以 . ……………………….11分
当 时， ,
所以 ，即 满足要求， ……………………….

12分
综上， 的最小值为1. ……………………….13分
法三：
当 时， .
当 时， . ……………………….9分
且由（Ⅱ）可知， 的最小值为 ， ……………………….10分
若 ，即 时，
令 则任取 ,
有
所以 对 成立，
所以必有 成立，所以 ，即 . ……………………….11分[来源:Zxxk.Com]
而当 时， ,
所以 ，即 满足要求， ……………………….12分
而当 时，求出的 的值，显然大于1，
综上， 的最小值为1. ……………………….13分

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