2014高考数学一轮复习单元练习--不等式
I 卷
一、
1．已知集合S＝{xx－2x<0}，T＝{xx2－(2a＋1)x＋a2＋a≥0，a∈R}，若S∪T＝R，则实数a的取值范围是( )
A．－1≤a≤1B．－1<a≤1
C．0≤a≤1D．0<a≤1
【答案】C
2．已知函数 若 ，则a的取值范围是 ( ）
A．（-6，-4）B．（-4，0）C．（-4，4）D．（0， ）
【答案】B
3． 设x，y满足约束条件 ,若目标函数z＝ax＋by（a＞0，b>0）的最大值为12，则 的最小值为( )
A． B． C． D．4
【答案】A
4．不等式 的解集是 ，则 等于（ ）
A．-10B．10C．-14D．14
【答案】B
5．下列命题中，为真命题的是( )
A．a、b、c∈R且a＞b，则ac2＞bc2
B．a、b∈R且ab≠0，则ab＋ba≥2
C．a、b∈R且a＞b，则an＞bn(n∈N*)
D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
【答案】C
6．函数 的图象过一个点P，且点P在直线 上，则 的最小值是（ ）
A．12B．13C．24D．25
【答案】D
7．设 满足 则 ( )
A．有最小值2，最大值3B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值
【答案】B
8．当x≤1时，函数y＝ax＋2a＋1的值有正也有负，则实数a的取值范围是( )
A．a≥－13 B．a≤－1
C．－1<a<－13 D．－1≤a≤－13
答案：C
y＝ax＋2a＋1可以看成关于x的一次函数，在－1,1上具有单调性，因此只需当x＝－1和x＝1时的函数值互为相反数，即(a＋2a＋1)(－a＋2a＋1)<0，解这个关于a的一元二次不等式，得－1<a<－13．
9．已知a＞b，ab＝1，则a2＋b2a－b的最小值是( )
A．22 B．2 C．2 D．1
【答案】A
10．在平面直角坐标系中，若不等式组 （ 为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则 的值为( )
A． -5B． 1C． 2D． 3
【答案】B
11．在两个实数之间定义一种运算“#”，规定a#b＝1，(a＜b)，－1，(a≥b).
则方程1x－2#2＝1的解集是( )
A．{14} B．(14，＋∞)
C．(－∞，14) D．[14，＋∞)
【答案】B
12．对于函数f (x)，在使f(x)≤恒成立的所有常数中，我们把中的最小值称为函数f(x)的“上确界”．已知函数f(x)＝x2＋2x＋1x2＋1＋a(x∈－2,2)是奇函数，则f(x)的上确界为( )
A．2
B．95
C．1
D．45
【答案】C
II卷
二、题
13．下列命题
①
②
③函数 的最小值是4
④
其中正确命题的序号是
【答案】②④
14．设a，b，c∈R＋，则(a＋b＋c)(1a＋b＋1c)的最小值为__________．
【答案】4
15．设a＞b＞0，则a2＋1ab＋1a(a－b)的最小值是________．
【答案】4
16．已知关于x的不等式ax－1x＋1<0的解集是(－∞，－1)∪(－12＋∞)，则a＝________.
【答案】－2
三、解答题
17．已知函数f(x)＝13ax3－14x2＋cx＋d(a，c，d∈R)满足f(0)＝0，f′(1)＝0，且f′(x)≥0在R上恒成立．
(1)求a，c，d的值；
(2)若h(x)＝34x2－bx＋b2－14，解不等式f′(x)＋h(x)<0.
【答案】(1)∵f(0)＝0，∴d＝0，
∵f′(x)＝ax2－12x＋c.
又f′(1)＝0，∴a＋c＝12．
∵f′(x)≥0在R上恒成立，
即ax2－12x＋c≥0恒成立，
∴ax2－12x＋12－a≥0恒成立，
显然当a＝0时，上式不恒成立．
∴a≠0，
∴a>0，(－12)2－4a(12－a)≤0，即a>0，a2－12a＋116≤0，即a>0，(a－14)2≤0，
解得：a＝14，c＝14．
(2)∵a＝c＝14．
∴f′(x)＝14x2－12x＋14．
f′(x)＋h(x)<0，即14x2－12x＋14＋34x2－bx＋b2－14<0，
即x2－(b＋12)x＋b2<0，
即 (x－b)(x－12)<0，
当b>12时，解集为(12，b)，
当b<12时，解集为(b，12)，
当b＝12时，解集为 .
18．设函数f(x)＝2x2＋2xx2＋1，函数g(x)＝ax2＋5x－2a.
(1)求f(x)在[0,1]上的值域；
(2)若对于任意x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a的取值范围．
【答案】(1)f(x)＝2x2＋2xx2＋1＝2(x2＋1)＋2x－2x2＋1＝2＋2(x－1)x2＋1，
令x－1＝t，则x＝t＋1，t∈[－1,0]，f(t)＝2＋2tt2＋2t＋2，当t＝0时，f(t)＝2；
当t∈[－1,0)，f(t)＝2＋2t＋2t＋2，由对勾函数的单调性得f(t)∈[0,2)，故函数f(x)在[0,1]上的值域是[0,2]．
(2)f(x)的值域是[0,2]，要使g(x0)＝f(x1)成立，
则[0,2]⊆{yy＝g(x)，x∈[0,1]}．
①当a＝0时，x∈[0,1]，g(x)＝5x∈[0,5]，符合题意；
②当a>0时，函数g(x)的对称轴为x＝－52a<0，故当x∈[0,1]时，函数为增函数，则g(x)的值域是[－2a,5－a]，由条件知[0,2]⊆[－2a,5－a]，∴a>0，－2a≤0，5－a≥2⇒0<a≤3；
③当a<0时，函数g(x)的对称轴为x＝－52a>0.
当0<－52a<1，即a<－52时，
g(x)的值域是－2a，－8a2－254a或5－a，－8a2－254a，
由－2a>0,5－a>0知，此时不合题意；当－52a≥1，即－52≤a<0时，g(x)的值域是[－2a,5－a]，由－2a>0知，此时不合题意．
综合①②③得0≤a≤3.
19．整改校园内一块长为15 ，宽为11 的长方形草地(如图A)，将长减少1 ，宽增加1 (如图B)．问草地面积是增加了还是减少了？假设长减少x ，宽增加x (x>0)，试研究以下问题：
x取什么值时，草地面积减少？
x取什么值时，草地面积增加？
答案：原草地面积S1＝11×15＝165(2)，
整改后草地面积为：S＝14×12＝168(2)，
∵S>S1，∴整改后草地面积增加了．
研究：长减少x ，宽增加x 后，草地面积为：
S2＝(11＋x)(15－x)，
∵S1－S2＝165－(11＋x)(15－x)＝x2－4x，
∴当0<x<4时，x2－4x<0，∴S1<S2；
当x＝4时，x2－4x＝0，∴S1＝S2.
当x>4时，x2－4x>0，∴S1>S2.
综上所述，当0<x<4时，草地面积增加，
当x＝4时，草地面积不变，
当x>4时，草地面积减少．
20．A、B两地分别生产同一规格产品12千吨、8千吨，而D、E、F三地分别需要8千吨、6千吨、6千吨，每千吨的运价如下表．怎样确定调运方案，使总的运费为最小？
【答案】设从A到D运x千吨，则从B到D运(8－x)千吨；从A到E运y千吨，则从B到E运(6－y)千吨；
从A到F运(12－x－y)千吨，从B到F运(x＋y－6)千吨，则线性约束条件为0≤x≤8，0≤y≤6，6≤x＋y≤12，
线性目标函数为z＝4x＋5y＋6(12－x－y)＋5(8－x)＋2(6－y)＋4(x＋y－6)＝－3x＋y＋110，
作出可行域，可观察出目标函数在(8,0)点取到最小值，即从A到D运8千吨，从B到E运6千吨，从A到F运4千吨，从B到F运2千吨，可使总的运费最少．
21．定义在－1,1上的奇函数，已知当x∈－1,0时的解析式f(x)＝14x－a2x(a∈R)．
(1)写出f(x)在0,1上的解析式；
(2)求f(x)在0,1上的最大值．
【答案】(1)设x∈0,1，
则－x∈－1,0，f(－x)＝14－x－a2－x＝4x－a•2x，
∴f(x)＝－f(－x)＝a•2x－4x，x∈0,1．
(2)∵f(x)＝a•2x－4x，x∈0,1，
令t＝2x，t∈1,2，
∴g(t)＝a•t－t2＝－(t－a2)2＋a24．
当a2≤1，即a≤2时，g(t)ax＝g(1)＝a－1；
当1<a2<2，即2<a<4时，g(t)ax＝g(a2)＝a24；
当a2≥2，即a≥4时，g(t)ax＝g(2)＝2a－4.
综上，当a≤2时，f(x)的最大值为a－1；
当2<a<4时，f(x)的最大值为a24；
当a≥4时，f(x)的最大值为2a－4.
22．已知函数f(x)＝f(x＋2)，x≤－12x＋2，－1＜x＜1.2x－4，x≥1
(1)求f(12)，f[f(－2)]的值；
(2)解不等式组：x≥－1f(x)≤2．
【答案】(1)f(12)＝2×12＋2＝3，
f[f(－2)]＝f[f(0)]＝f(2)＝22－4＝0.
(2)①当x＝－1时，f(－1)＝f(1)＝21－4＝－2＜2，满足不等式组；
②－1＜x＜12x＋2≤2⇔－1＜x≤0；
③x≥12x－4≤2⇔1≤x≤log26.
综上所述，不等式组x≥－1f(x)≤2的解集为x∈[－1,0]∪[1，log26]．
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