河北省唐山市2013届高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析　一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．（5分）复数=（　　）　A．B．?C．iD．?i考点：复数代数形式的乘除运算．3481324专题：计算题．分析：把要求的式子的分子和分母同时乘以分母的共轭复数，化简可得结果．解答：解：复数===i，故选C点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．　2．（5分）下列函数中，满足f（x2）=[f（x）]2的是（　　）　A．f（x）=lnxB．f（x）=x+1C．f（x）=x3D．f（x）=ex考点：函数解析式的求解及常用方法．3481324专题：函数的性质及应用．分析：利用指数的运算性质及对数的运算性质，分别求出f（x2）与[f（x）]2，比照后，可得答案．解答：解：若f（x）=lnx，则f（x2）=lnx2=2lnx，[f（x）]2=（lnx）2，不满足f（x2）=[f（x）]2，若f（x）=x+1，则f（x2）=x2+1，[f（x）]2=x+12=x2+2x+1，不满足f（x2）=[f（x）]2，若f（x）=x3，则f（x2）=（x2）3=x6，[f（x）]2=（x3）2=x6，满足f（x2）=[f（x）]2，若f（x）=ex，则f（x2）=，[f（x）]2=（ex）2=e2x，不满足f（x2）=[f（x）]2，故选C点评：本题考查的知识点函数解析式的求解，熟练掌握指数的运算性质及对数的运算性质，分别求出f（x2）与[f（x）]2，是解答的关键．　3．（5分）执行如图中的程序框图，输出的结果为（　　）　A．15B．16C．64D．65考点：程序框图．3481324分析：n=1，a=1，满足条件n≤4，执行循环体，依此类推，当n=5，不满足条件n≤4，退出循环体，从而输出此时的a即可．解答：解：n=1，a=1，满足条件n≤4，执行循环体；a=1×1+1=2，n=1+1=2，满足条件n≤4，执行循环体；a=2×2+1=5，n=2+1=3，满足条件n≤4，执行循环体；a=3×5+1=16，n=3+1=4，满足条件n≤4，执行循环体；a=4×16+1=65，n=4+1=5，不满足条件n≤4，退出循环体，输出a为：65．故选D．点评：本题主要考查了直到型循环结构，根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．　4．（5分）椭圆的左焦点为F，右顶点为A，以FA为直径的圆经过椭圆的上顶点，则椭圆的离心率为（　　）　A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．3481324专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出圆的圆心与椭圆的上顶点的距离等于圆的半径，然后求出椭圆的离心率即可．解答：解：由题意可知圆的圆心坐标为（，0），椭圆的上顶点（0，b），所以（）2+b2=（）2，即b2=ac，又b2=a2?c2，所以a2?c2?ac=0，即e2+e?1=0，解得e=，故选B．点评：本题考查椭圆的基本性质的应用，椭圆的离心率的求法，圆与椭圆的位置关系，考查计算能力．　5．（5分）设x，y满足的最大值为（　　）　A．3B．5C．D．考点：简单线性规划．3481324专题：不等式的解法及应用．分析：画出满足条件的可行域，求出各角点的坐标，分别代入目标函数的解析式，求出目标函数的值，比较后，可得目标函数的最大值．解答：解：满足约束条件的可行域如下图所示：∵z=2x+y故zA=3，zB=5，zA=，故z=2x+y的最大值为故选D点评：本题考查的知识点是简单线性规划，线性规划是高考的必考内容，“角点法”是解答此类问题最常用的方法，一定要熟练掌握．　6．（5分）（2013?烟台一模）一个三棱锥的三视图如图，则该三棱锥的体积为（　　）　A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．3481324专题：计算题．分析：几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积．解答：解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；两两垂直的三条棱长分别为：1，2，1，所以棱锥的体积为：=．故选A．点评：本题考查三视图，空间想象能力，计算能力，是基础题．　7．（5分）等比数列{an}中，a1+a3=17，a2+a4=68，则a2a3=（　　）　A．32B．256C．128D．64考点：等比数列的通项公式．3481324专题：等差数列与等比数列．分析：两式相除可得公比，代入已知可得首项a1，进而可得a2a3，计算可得答案．解答：解：∵a1+a3=17，a2+a4=68，∴数列的公比q===4，∴a1+a3=a1（1+42）=17，解得a1=1，故a2a3=4×42=64故选D点评：本题考查等比数列的通项公式，属基础题．　8．（5分）已知函数f（x）=x2+mx+1，若命题“?x0＞0，f（x0）＜0”为真，则m的取值范围是（　　）　A．（?∞，?2]B．[2，+∞）C．（?∞，?2）D．（2，+∞）考点：特称命题；命题的否定．3481324专题：不等式的解法及应用．分析：根据“命题“?x0＞0，f（x0）＜0”为真”，不等式对应的是二次函数，利用二次的图象与性质加以解决即可．解答：解：因为函数f（x）=x2+mx+1的图象过点（0，1），若命题“?x0＞0，f（x0）＜0”为真，则函数f（x）=x2+mx+1的图象的对称轴必在y轴的右侧，且与x轴有两个交点，∴△=m2?4＞0，且?＞0，即m＜?2，则m的取值范围是：（?∞，?2）．故选C．点评：本题考查特称命题、二次不等式恒成立，解决此类问题要结合二次函数的图象处理．　9．（5分）（2013?金华模拟）△ABC中，点P满足，则△ABC一定是（　　）　A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．钝角三角形考点：三角形的形状判断．3481324分析：设D是BC中点，由可得点P在三角形ABC的中线AD所在直线上．再由，可得，从而得到三角形ABC的边BC上的中线与高线重合，可得三角形ABC是等腰三角形．解答：解：∵，设D是BC中点，则 ，∴，故点P在三角形ABC的中线AD所在直线上． ∵，∴=0，即 ，即．即 AP⊥BC，故三角形ABC的边BC上的中线与高线重合，所以，三角形ABC是等腰三角形，其中AB=AC，故选B．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，两个向量垂直的条件，等腰三角形的判定，属于中档题．　10．（5分）函数的一段图象是（　　）　A．B．C．D．考点：函数的图象．3481324专题：函数的性质及应用．分析：令函数的函数值为0，易得函数有唯一零点在区间（?1，0）上，即函数图象与x轴有且只有一个交点，且必在区间（?1，0），进而得到答案．解答：解：令函数=0，则ex+x=0令f（x）=ex+x是一个增函数又f（?1）=?1＜0，f（0）=1＞0函数有唯一零点在区间（?1，0）上故函数图象与x轴有且只有一个交点，且必在区间（?1，0）又当x＞0时，函数＞0故选B点评：本题考查的知识点是函数的图象，其中分析函数零点的位置，是解答的关键．　11．（5分）已如点M（1，0）及双曲线的右支上两动点A，B，当∠AMB最大时，它的余弦值为（　　）　A．?B．C．?D．考点：双曲线的简单性质；余弦定理．3481324专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意，当直线MA、MB分别与双曲线相切于点A、B时，可得∠AMB取得最大值．因此设直线AM方程为y=k（x?1），与双曲线联解并利用根的判别式，解出k=．设直线AM倾斜角为θ，得∠AMB=2θ且tanθ=，最后利用二倍角的三角函数公式，即可算出∠AMB达到最大值时∠AMB的余弦值．解答：解：根据题意，当直线MA与双曲线相切于点A，直线MB与双曲线相切于点B时，∠AMB取得最大值．设直线AM方程为y=k（x?1），与双曲线消去y，得（?k2）x2+2k2x?k2?1=0∵直线MA与双曲线相切于点A，∴（2k2）2?4×（?k2）×（k2?1）=0，解之得k=（舍负）因此，直线AM方程为y=（x?1），同理直线BM方程为y=?（x?1），设直线AM倾斜角为θ，得tanθ=，且∠AMB=2θ∴cos2θ===，即为∠AMB最大时的余弦值故选：D点评：本题给出双曲线方程和点M（1，0），求双曲线右支上两点A、B对M的最大张角的余弦之值，着重考查了双曲线的简单几何性质和直线与双曲线的位置关系等知识，属于中档题．　12．（5分）四面体ABCD的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，AC=，BD=，则该球的表面积为（　　）　A．14πB．15πC．16πD．18π考点：球的体积和表面积．3481324专题：空间位置关系与距离．分析：取BD中点F，AC中点E，由等腰三角形三线合一，及线面垂直的判定定理，可得BD⊥面AFC，及AC⊥面BED．由韦达定理可得BE=DE=，EF=，结合EF=+，可得球的半径R，进而得到球的表面积解答：解：如左图，取BD中点F，AC中点E由AB=BC=CD=DA=3，可得CF⊥BD，AF⊥BD，又∵CF∩AF=F，CF，AF?平面AFC，故BD⊥面AFC同理AC⊥面BED故球心O必位于两垂直平面面AFC和面BED的交线EF上又∵AC=，BD=故BE=DE=，EF=设外接球半径为R，如右图（△AEO与△BFO不在同一平面）利用EF=+解得R=故该球的表面积S=4πR2=14π．故选A点评：本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出球心O必位于两垂直平面面AFC和面BED的交线EF上，是解答的关键．　二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．（5分）3位数学教师和3位语文教师分配到两所不同的学校任教，每校3位，且每所学校既有数学教师，也有语文教师，则不同的分配方案共有　18　种．考点：排列、组合及简单计数问题；计数原理的应用．3481324分析：直接利用分类计数原理，然后按照分步计数原理，实现分配方案即可．解答：解：因为3位数学教师和3位语文教师分配到两所不同的学校任教，每校3河北省唐山市2013届高三上学期期末考试数学理试题（WORD解析版）
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