广东省东莞市2014届高三模拟(一)数学理试题

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试卷说明:

东莞市2014届高三理科数学模拟试题(一)命题:汪红兵 审稿与校对:梅开萍、杨波参考公式:?如果事件、互斥,那么.?表示底面积,表示底面的高,柱体体积 ,,锥体体积 .一、选择题:共8小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.学1.已知全集U=R,集合,则∩(?U B)=(  )A.(,1) B.C.D. (0,) 2. 设、,若,则下列不等式中正确的是A. B. C. D.是等差数列,若则数列前8项和为( )A.128 B.80 C.64 D.564.已知函数则函数的零点为A....5.给出下列三个结论:(1)若命题为假命题,命题为假命题,则命题“”为假命题;(2)命题“若,则或”的否命题为“若,则或”;(3)命题“”的否定是“ ”.则以上结论正确的个数为A. B. C. D.的最小正周期是,若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数,则函数的图象A.对称B.对称C.D.对称7. 已知向量与的夹角为,且,若,且,则实数的值为8. 设,,为整数(m>0),若和被除得的余数相同,则称和对模同余,记为.若,,则的值可以是A.2011 B.2012 C.2013 D.2014二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,满分30分.其中1~15题是选做题,考生只能选做题,题全答的,只计算前题得分.某中学为了解学生数学课程的学习情况,在3 000名学生中随机抽取200名,并统计这200名学生的某次数学考试成绩,得到了样本的频率分布直方图(如图).根据频率分布直方图推测,这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________. (第9题) (第10题) 10.某几何体的三视图如,则它的体积是________. 的展开式中x3的项的系数是____(用数字作答)。12. 已知集合A={xx2-2x-3>0 },B={xax2+bx+c≤0},若A∩B={x3<x≤4},A∪B=R,则的最小值为____13. 请阅读下列材料:若两个正实数满足(不必证明)14.(坐标系与参数方程选做题)[来已知直线为参数且)与(是参数且),则直线与的交点坐标为 . 15.(几何证明选讲选做)如图,AB是半圆的直径,C是AB延长线上一点,CD切半圆于点D,CD=2,DE⊥AB,垂足为E,且E是OB的中点,则BC的长为 .16.(本小题满分12分)已知,.⑴ 求的最小正周期;⑵ 设、,,,求的值.,据此绘制了如图所示的频率分布直方图. (1)求成绩在区间的频率;(2)从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生,其中成绩在[90,100]内的学生人数为ξ,求ξ的分布列与均值.18. (本小题满分14分)如图所示的多面体中, 是菱形,是矩形,平面,,.(1) 求证:平面;() 若二面角为直二面角求直线与平面所成的角的正弦值19.(本小题满分14分)如图所示,已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点,点A是长轴的一个端点,BC过椭圆中心O,且,BC=2AC. (1)求椭圆方程;(2) 在椭圆E上是否存点Q,使得?若存在,有几个(不必求出Q点的坐标),若不存在,请说明理由.(3)的两条切线,切点分别为M、N,若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n,证明:为定值.20.(本小题满分14分)已知函数(1)若,求曲线在点处的切线方程;(2)求的极值;若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点,求实数的取值范围21.(本小题满分14分)已知数列中,,且.为数列的前项和,且.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项的和;(3)证明对一切,有.东莞市2014届高三理科数学模拟试题(一)参考答案选择题:每小题5分,共40分.序号12345678答案ABCDD B D A 二. 填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.600 10. 8-;13. 14.(1,3) .三. 解答题:16. 解:⑴……2分,……4分,的最小正周期⑵因为,,……6分,所以,……7分,,,……8分,因为,所以,……9分,所以……10分,……11分,……12分。17. 解:(1)因为各组的频率之和为1,所以成绩在区间的频率为, …………………3分 (2)由已知和(1)的结果可知成绩在区间内的学生有人,成绩在区间内的学生有人,…………………4 分依题意,ξ可能取的值为0,1,2,3 …………………5 分所以ξ的分布列为ξ0123P ............................................................................10分则均值Eξ= ...............................12分18.(本小题满分14分)(1)矩形中,--------1分平面,平面,平面,-2分同理平面,-------3分又u平面∥平面------4分(2)取的中点.由于面, ∥,又是菱形,是矩形,所以,是全等三角形, 所以,就是二面角的平面角-------8分解法1(几何方法):延长到,使,由已知可得,是平行四边形,又矩形,所以是平行四边形,共面,由上证可知, ,,相交于,平面为所求.由,,得等腰直角三角形中,,可得直角三角形中,解法2几何方法):由,,得平面,欲求直线与平面所成的角,先求与所成的角. ------12分连结,设则在中,,,用余弦定理知 ---14分解法3(向量方法):以为原点,为轴、为轴建立如图的直角坐标系,由则,,平面的法向量, -------12分. ---14分19.解:(1),则A(2,0),设椭圆方程为-----------------------分 由对称性知OC=OB 又∵,BC=2AC∴AC⊥BC,OC=AC ∴△AOC为等腰直角三角形∴点C的坐标为(1,1)点B的坐标为(-1,-1) ---------------------4分将C的坐标(1,1)代入椭圆方程得 ∴所求椭圆方程为---------------------------------分在椭圆E上存点Q,使得,则即点Q在直线上,-----------------------------------------------------------7分∴点Q即直线与椭圆E的交点,∵直线过点,而点椭圆在椭圆E的内部,∴满足条件的点Q存在,且有两个.------------------------------------------------------9分在椭圆E上存点Q,使得,则即,--------①-------------------------------------------------7分Q在椭圆E上,∴,-----------------②由①式得代入②式并整理得:,-----③∵方程③的根判别式,∴方程③有两个不相等的实数根,即满足条件的点Q存在,且有两个.---------------9分,由M、N是的切点知,,∴O、M、P、N四点在同一圆上,------------------------------------------10分OP,则圆心为,其方程为,------------------------------11分-----④即点M、N满足方程④,又点M、N都在上,∴M、N坐标也满足方程---------------⑤⑤-④得直线MN的方程为分得,令得,----------------------------------13分∴,又点P在椭圆E上,∴,即=定值.-----------------------------------14分则----------10分化简得--------------④同理可得直线PN的方程为---------------⑤-------------------11分⑤得∴直线MN的方程为分得,令得,--------------------------------------------13分∴,又点P在椭圆E上,∴,即=定值.---------------------------------------------14分,且. 又,. 在点处的切线方程为:, 即.     ……………………… 4分(2)的定义域为,, 令.当时,,是增函数;当时,,是减函数; 在处取得极大值,即.   ……… 8分(3)(i)当,即时,由(Ⅱ)知在上是增函数,在上是减函数,当时,取得最大值,即.又当时,,当时,,当时,,所以,的图像与的图像在上有公共点,等价于,解得,又因为,所以. (ii)当,即时,在上是增函数,在上的最大值为,原问题等价于,解得,又 无解综上,的取值范围是.    ……………… 14分21.解:(1)由已知得,,,由题意,即, 当n为奇数时,;当n为偶数时,.所以.            …………4分(2)解法一:由已知,对有,两边同除以,得,即,于是,==,即,,所以=,,,又时也成立,故,.所以, ………8分解法二:也可以归纳、猜想得出,然后用数学归纳法证明.(3)当,有,所以时,有=.当时,. 故对一切,有.    ………14分 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源70506080100400分数频率/组距0.0150.0050.0450.02090广东省东莞市2014届高三模拟(一)数学理试题
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