东莞市2014届高三理科数学模拟试题(一)命题：汪红兵 审稿与校对：梅开萍、杨波参考公式：?如果事件、互斥，那么．?表示底面积，表示底面的高，柱体体积 ，，锥体体积 ．一、选择题：共8小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．学1.已知全集U＝R，集合,则∩(?U B)＝(　　)A．(,1) B．C．D． (0,) 2. 设、，若，则下列不等式中正确的是A． B． C． D．是等差数列,若则数列前8项和为（ ）A．128 B.80 C.64 D.564.已知函数则函数的零点为A．．．．5.给出下列三个结论：（1）若命题为假命题，命题为假命题，则命题“”为假命题；（2）命题“若，则或”的否命题为“若，则或”；（3）命题“”的否定是“ ”.则以上结论正确的个数为A． B． C． D．的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象A．对称B．对称C．D．对称7. 已知向量与的夹角为,且,若,且,则实数的值为8. 设，，为整数（m>0），若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若，，则的值可以是A．2011 B．2012 C．2013 D．2014二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中1～15题是选做题，考生只能选做题，题全答的，只计算前题得分．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________． （第9题） （第10题） 10.某几何体的三视图如，则它的体积是________． 的展开式中x3的项的系数是＿＿＿＿（用数字作答）。12. 已知集合A＝{xx2－2x－3＞0 }，B＝{xax2＋bx＋c≤0}，若A∩B＝{x3＜x≤4}，A∪B＝R，则的最小值为＿＿＿＿13. 请阅读下列材料：若两个正实数满足（不必证明）14.(坐标系与参数方程选做题)[来已知直线为参数且）与(是参数且)，则直线与的交点坐标为 . 15.（几何证明选讲选做）如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，则BC的长为 ．16．（本小题满分12分）已知，．⑴ 求的最小正周期；⑵ 设、，，，求的值．，据此绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）求成绩在区间的频率；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生，其中成绩在[90，100]内的学生人数为ξ，求ξ的分布列与均值.18. （本小题满分14分）如图所示的多面体中， 是菱形，是矩形，平面，，．(1) 求证：平面；() 若二面角为直二面角求直线与平面所成的角的正弦值19．（本小题满分14分）如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且，BC＝2AC． (1)求椭圆方程；(2) 在椭圆E上是否存点Q，使得？若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由．（3）的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：为定值．20．（本小题满分14分）已知函数（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）求的极值；若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数的取值范围21．（本小题满分14分）已知数列中，，且．为数列的前项和，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项的和；（3）证明对一切，有．东莞市2014届高三理科数学模拟试题(一)参考答案选择题：每小题5分，共40分.序号12345678答案ABCDD B D A 二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.600 10. 8－;13. 14．（1，3） .三. 解答题：16. 解：⑴……2分，……4分，的最小正周期⑵因为，，……6分，所以，……7分，，，……8分，因为，所以，……9分，所以……10分，……11分，……12分。17. 解：（1）因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间的频率为， …………………3分 （2）由已知和（1）的结果可知成绩在区间内的学生有人，成绩在区间内的学生有人，…………………4 分依题意，ξ可能取的值为0，1，2，3 …………………5 分所以ξ的分布列为ξ0123P ............................................................................10分则均值Eξ= ...............................12分18.（本小题满分14分）（1）矩形中，--------1分平面，平面,平面，-2分同理平面,-------3分又u平面∥平面------4分（2）取的中点.由于面, ∥,又是菱形，是矩形，所以，是全等三角形， 所以，就是二面角的平面角-------8分解法1（几何方法）：延长到，使,由已知可得，是平行四边形，又矩形，所以是平行四边形，共面，由上证可知，　，,相交于，平面为所求.由,,得等腰直角三角形中，,可得直角三角形中,解法2几何方法）：由，，得平面，欲求直线与平面所成的角，先求与所成的角. ------12分连结，设则在中，，，用余弦定理知 ---14分解法3（向量方法）：以为原点，为轴、为轴建立如图的直角坐标系，由则，，平面的法向量， -------12分. ---14分19．解：(1)，则A(2，0)，设椭圆方程为-----------------------分　由对称性知OC＝OB 又∵，BC＝2AC∴AC⊥BC，OC＝AC ∴△AOC为等腰直角三角形∴点C的坐标为(1，1)点B的坐标为(－1，－1) ---------------------4分将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得 ∴所求椭圆方程为---------------------------------分在椭圆E上存点Q，使得，则即点Q在直线上，-----------------------------------------------------------7分∴点Q即直线与椭圆E的交点，∵直线过点，而点椭圆在椭圆E的内部，∴满足条件的点Q存在，且有两个．------------------------------------------------------9分在椭圆E上存点Q，使得，则即，--------①-------------------------------------------------7分Q在椭圆E上，∴，-----------------②由①式得代入②式并整理得：，-----③∵方程③的根判别式，∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存在，且有两个．---------------9分，由M、N是的切点知，,∴O、M、P、N四点在同一圆上，------------------------------------------10分OP,则圆心为，其方程为，------------------------------11分-----④即点M、N满足方程④，又点M、N都在上，∴M、N坐标也满足方程---------------⑤⑤-④得直线MN的方程为分得，令得，----------------------------------13分∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值.-----------------------------------14分则----------10分化简得--------------④同理可得直线PN的方程为---------------⑤-------------------11分⑤得∴直线MN的方程为分得，令得，--------------------------------------------13分∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值．---------------------------------------------14分，且． 又，． 在点处的切线方程为：， 即． 　　　 ……………………… 4分（2）的定义域为，， 令．当时，，是增函数；当时，，是减函数； 在处取得极大值，即．　　　……… 8分（3）（i）当，即时，由（Ⅱ）知在上是增函数，在上是减函数，当时，取得最大值，即．又当时，，当时，，当时，，所以，的图像与的图像在上有公共点，等价于，解得，又因为，所以． （ii）当，即时，在上是增函数，在上的最大值为，原问题等价于，解得，又 无解综上，的取值范围是． 　　 ……………… 14分21．解：（1）由已知得，，，由题意，即， 当n为奇数时，；当n为偶数时，.所以.　　　　　　　　　　　 …………4分（2）解法一：由已知，对有，两边同除以，得，即，于是，==，即，，所以=，，，又时也成立，故，.所以， ………8分解法二：也可以归纳、猜想得出，然后用数学归纳法证明．（3）当，有，所以时，有=.当时，. 故对一切，有.　　　　………14分 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源70506080100400分数频率/组距0.0150.0050.0450.02090广东省东莞市2014届高三模拟（一）数学理试题
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