2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编14：导数
一、
1 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知函数 ,下列结论中错误的是（ ）
A． R, B.函数 的图像是中心对称图形
C．若 是 的极小值点,则 在区间 上单调递减
D．若 是 的极值点,则
【答案】C
2 ．（2013年高考大纲卷（文））已知曲线 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
3 ．（2013年高考湖北卷（文））已知函数 有两个极值点,则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
4 ．（2013年高考福建卷（文））设函数 的定义域为 , 是 的极 大值点,以下结论一定正确的是（ ）
A． B． 是 的极小值点
C． 是 的极小值点D． 是 的极小值点
【答案】D
5 ．（2013年高考安徽（文） ）已知函数 有两个极值点 ,若 ,则关于 的方程 的不同实根个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
6 ．（2013年高考浙江卷（文））已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数y=f’(x)的图像如右图所示,则该函数的图像是
【答案】B
二、题
7 ．（2013年高考广东卷（文））若曲线 在点 处的切线平行于 轴,则 ____________.
【答案】
8 ．（2013年高考江西卷（文））若曲线 (α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=_________.
【答案】2
三、解答题
9 ．（2013年高考浙江卷（文））已知a∈R,函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax
(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(Ⅱ)若a>1,求f(x)在闭区间[0,2a]上的最小值.
【答案】解:(Ⅰ)当 时, ,所以 ,所以 在 处的切线方程是: ;
(Ⅱ)因为
①当 时, 时, 递增, 时, 递减,所以当
时,且 , 时, 递增, 时, 递减,所以最小值是 ;
②当 时,且 ,在 时, 时, 递减, 时, 递增,所以最小值是 ;
综上所述:当 时,函数 最小值是 ;当 时,函数 最 小值是 ;
10．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)
某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为 米,高为 米,体积为 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000 元( 为圆周率).
(Ⅰ)将 表示成 的函数 ,并求该函数的定义域;z
(Ⅱ)讨论函数 的单调性,并确定 和 为何值时该蓄水池的体积最大.z
【答案】
11．（2013 年高考陕西卷（文））已知函数 .
(Ⅰ) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;
(Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线 有唯一公共点.
(Ⅲ) 设a<b, 比较 与 的大小, 并说明理由.
【答案】解:(Ⅰ) f (x)的反函数 ,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k= .
.过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1
(Ⅱ) 证明曲线y=f(x)与曲线 有唯一公共点,过程如下.
因此,
所以,曲线y=f(x)与曲线 只有唯一公共点(0,1).(证毕)
(Ⅲ) 设
令 .
,
且 .
,所以
12．（2013年高考大纲卷（文））已知函数
(I)求 ;
(II)若
【答案】(Ⅰ)当 时, .
令 ,得, , .
当 时, , 在 是增函数;
当 时, , 在 是减函数;
当 时, , 在 是增函数;
(Ⅱ)由 得, .
当 , 时,
,
所以 在 是增函数,于是当 时, .
综上,a的取值范围是 .
13．（2013年高考辽宁卷（文））(I)证明:当
(II)若不等式 取值范围.
【答案】
14．（2013年高考四川卷（文））已知函数 ,其中 是实数.设 , 为该函数图象上的两点,且 .
(Ⅰ)指出函数 的单调区间;
(Ⅱ)若函数 的图象在点 处的切线互相垂直,且 ,证明: ;
(Ⅲ)若函数 的图象在点 处的切线重合,求 的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)函数 的单调减区间为 ,单调增区间为 ,
(Ⅱ)由导数的几何意义知,点A处的切线斜率为 ,点B处的切线斜率为 ,
故当点 处的切线互相垂直时,有 ,
当x<0时,
因为 ,所以 ,所以 , ,
因此 ,
(当且仅当 ,即 且 时等号成立)
所以函数 的图象在点 处的切线互相垂直时有 .
(Ⅲ)当 或 时, ,故 .
当 时, 的图象在点 处的切线方程为
即 .
当 时, 的图象在点 处的切线方程为
即 .
两切线重合的充要条件是 ,
由①及 知, ,
由①、②得 ,
令 ,则 ,且
设 ,则
所以 为减函数,则 ,
所以 ,
而当 且t趋向于0时, 无限增大,
所以 的取值范围是 .
故当函数 的图象在点 处的切线重合时, 的取值范围是 .
15．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））己知函数f(X) = x2e-x
(I)求f(x)的极小值和极大值;
(II)当曲线y = f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.
【答案】
16．（2013年高考北京卷（文））已知函数 .
(Ⅰ)若曲线 在点 )处与直线 相切,求 与 的值.
(Ⅱ)若曲线 与直线 有两个不同的交点,求 的取值范围.
【答案】解:由 ,得 .
(I)因为曲线 在点 处与直线 相切,所以
,解得 , .
(II)令 ,得 . 与 的情况如下:
所以函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增, 是 的最小值.
当 时,曲线 与直线 最多只有一个交点;
当 时, > , ,
所以存在 , ,使得 .
由于函数 在区间 和 上均单调,所以当 时曲线 与直线 有且只有两个不同 交点.
综上可知,如果曲线 与直线 有且只有两个不同交点,那么 的取值范围是 .
17．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））(本小题满分共12分)
已知函数 ,曲线 在点 处切线方程为 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)讨论 的单调性,并求 的极 大值.
【答案】
(II) 由(I)知,
令
从而当 <0.
故 .
当 .
18．（2013年高考天津卷（文））设 , 已知函数
(Ⅰ) 证明 在区间(-1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;
(Ⅱ) 设曲线 在点 处的切线相互平行, 且 证明 .
【答案】
19．（2013年高考福建卷（文））已知函数 ( , 为自然对数的底数).
(1)若曲线 在点 处的切线平行于 轴,求 的值;
(2)求函数 的极值;
(3)当 的值时,若直线 与曲线 没有公共点,求 的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)由 ,得 .
又曲线 在点 处的切线平行于 轴,
得 ,即 ,解得 .
(Ⅱ) ,
①当 时, , 为 上的增函数,所以函数 无极值.
②当 时,令 ,得 , .
, ; , .
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
故 在 处取得极小值,且极小值为 ,无极大值.
综上,当 时,函数 无极小值;
当 , 在 处取得极小值 ,无极大值.
(Ⅲ)当 时,
令 ,
则直线 : 与曲线 没有公共点,
等价于方程 在 上没有实数解.
假设 ,此时 , ,
又函数 的图象连续不断,由零点存在定理,可知 在 上至少有一解,与“方程 在 上没有实数解”矛盾,故 .
又 时, ,知方程 在 上没有实数解.
所以 的最大值为 .
解法二:
(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一.
(Ⅲ)当 时, .
直线 : 与曲线 没有公共点,
等价于关于 的方程 在 上没有实数解,即关于 的方程:
(*)
在 上没有实数解.
①当 时,方程(*)可化为 ,在 上没有实数解.
②当 时,方程(*)化为 .
令 ,则有 .
令 ,得 ,
当 变化时, 的变化情况 如下表:
当 时, ,同时当 趋于 时, 趋于 ,
从而 的取值范围为 .
所以当 时,方程(*)无实数解, 解得 的取值范围是 .
综上,得 的最大值为 .
20．（2013年高考湖南（文））已知函数f(x)= .
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)证明:当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时,x1+x2<0.
【答案】解: (Ⅰ)
.
所以, .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,只需要证明:当x>0时f(x) < f(-x)即可.
.
21．（2013年高考广东卷（文））设函数 .
(1) 当 时,求函数 的单调区间;
(2) 当 时,求函数 在 上的最小值 和最大值 ,
【答案】(1)当 时
, 在 上单调递增.
(2)当 时, ,其开口向上,对称轴 ,且过
(i)当 ,即 时, , 在 上单调递增,
从而当 时, 取得最小值 ,
当 时, 取得最大值 .
(ii)当 ,即 时,令
解得: ,注意到 ,
(注:可用韦达定理判断 , ,从而 ;或者由 对称结合图像判断)
的最小值 ,
的最大值
综上所述,当 时, 的最小值 ,最大值
解法2(2)当 时,对 ,都有
,故
故 ,而 ,
所以 ,
(1)解法3:因为 , ;
①当 时,即 时, , 在 上单调递增,此时无最小值和最大值;
②当 时,即 时,令 ,解得 或 ;令 ,解得 或 ;
令 ,解得 ;
因为 ,
作 的最值表如下:
极大值 极小值
则 , ;
因为
;
,所以 ;
因为
;
;
所以 ;
综上所述,所以 , .
22．（2013年高考山东卷（文））已知函数
(Ⅰ)设 ,求 的单调区间
(Ⅱ) 设 ,且对于任意 , .试比较 与 的大小
【答案】
当 时函数 的单调递减区间是
23．（2013年高考湖北卷（文））设 , ,已知函数 .
(Ⅰ)当 时,讨论函数 的单调性;
(Ⅱ)当 时,称 为 、 关于 的加权平均数.
(i)判断 , , 是否成等比数列,并证明 ;
(ii) 、 的几何平均数记为G. 称 为 、 的调和平均数,记为H. 若 ,求 的取值范围.
【答案】(Ⅰ) 的定义域为 ,
.
当 时, ,函数 在 , 上单调递增;
当 时, ,函数 在 , 上单调递减.
(Ⅱ)(i)计算得 , , .
故 , 即
. ①
所以 成等比数列.
因 ,即 . 由①得 .
(ii)由(i)知 , .故由 ,得
. ②
当 时, .
这时, 的取值范围为 ;
当 时, ,从而 ,由 在 上单调递增与②式,
得 ,即 的取值范围为 ;
当 时, ,从而 ,由 在 上单调递减与②式,
得 ,即 的取值范围为 . 来
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