2014届高三模拟试题
数学（理）试题
本试卷分为第I卷（）和第II卷（非）两部分.满分150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）
1.设是等差数列{an}的前n项和，，则的值为( )
A. B. C. D.
2、如果是二次函数, 且的图象开口向上,顶点坐标为（1,）, 那么曲线上任一点的切线的倾斜角的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
3、在中，，，是边上的高，则的值等于（ ）
A．0B． C．4D．
4、已知数列为等比数列，且. ,则 =（ ）
． . ． ．
5、已知等比数列的公比，且成等差数列，则的前8项和为（ ）
A. 127B. 255C. 511 D. 1023
6、已知函数（其中）的部分图象如右图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（ ）
A.向右平移个长度单位 B.向右平移个长度单位
C.向左平移个长度单位 D.向左平移个长度单位
7、函数的零点个数为（ ）
A. 1B.2C. 3D.4
8、设集合，集合.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9、在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足
，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为（ ）
A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．1:5
10、已知函数的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为，则＋＋…＋的值为（ ）
A．－1 B． 1－log20132015 C．-log20132015 D．1
11、定义域为的偶函数满足对，有，且当 时，
，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
12、已知定义在上的奇函数，满足，且在区间上是增函数，若方程，在区间上有四个不同的根，则＝（ ）
A．－12B．－8C．－4D．4
2015届高三模拟试题
数学（理）试题
第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）
二、题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）
13、由曲线与直线所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是
14、在等比数列中，若
，则 。
15、在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则 ．
16、设，其中. 若对一切恒成立，则 ① ； ② ； ③ 既不是奇函数也不是偶函数；
④ 的单调递增区间是；
⑤ 存在经过点的直线与函数的图象不相交．
以上结论正确的是__________________（写出所有正确结论的编号）．
三、解答题（共6个题， 共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）
17、（本题10分）
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c， q=（，1），p=（， ）且．求：
（1）求sin A的值； （2）求三角函数式的取值范围．
18、（本题12分）
数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n＋1)(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：an＝＋＋＋…＋，求数列{bn}的通项公式；
(3)令cn＝(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.
19、（本题12分）
在△ABC中，，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，。
（1）求BC的长；
（2）求△DBC的面积。
20、（本题12分）
已知且，函数，，记
（1）求函数的定义域及其零点；
（2）若关于的方程在区间内仅有一解，求实数的取值范围.
21、（本题12分）
已知函数
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求函数单调递增区间；
（3）若存在，使得是自然对数的底数），求实数的取值范围.
22、（本题12分）
设函数
(I) 若x=2是函数f(x)的极值点，1和是函数的两个不同零点，且，求。
(II) 若对任意, 都存在(e 为自然对数的底数)，使得成立，求实数的取值范围。
2015届高三模拟试题
数学（理）试题答案
7、
8、【答案】B
【解析】，因为函数的对称轴为，，根据对称性可知要使中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有且，即，所以。即，选B.
10、【解析】函数的导数为，所以在处的切线斜率为，所以切线斜率为，令得，所以
，所以
，
选A.
11、【解析】因为函数是偶函数，所以，
即，所以函数关于直线对称，又，所以，即函数的周期是4.由得，，令，当时，，过定点.由图象可知当时，不成立.所以.因为，所以要使函数在上至少有三个零点，则有，即，所以，即，所以，即的取值范围是，选B。
12【解析】因为是定义在R上的奇函数，满足，所以，由为奇函数，所以函数图象关于直线对称且，由知，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为在区间[0，2]上是增函数，所以在区间[−2，0]上也是增函数. 如图2所示，那么方程(>0)在区间[−8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1<x2<x3<x4，由对称性知，即x1+x2 = −12，同理：x3+x4 = 4，所以x1+x2+x3+x4 = −12+4 = −8.选B.
二、题
13、 14、 15、 16. ①②③
三、解答题
17、解：（I）∵，∴，根据正弦定理，得，
又，
，，，又；sinA= 5分
（II）原式，
，
∵，∴，∴，
∴，∴的值域是．。。。。。。10分
∴Hn＝。
∴数列{cn}的前n项和Tn＝＋. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 12分
19、
。。。。。。。（8分）
。。。。。。（12分）
方法（二）：也可做辅助线，过点D作DE∥AB。
20、解：（1）（且）
，解得，所以函数的定义域为
令，则……（*）方程变为
，，即
解得，……4分
经检验是（*）的增根，所以方程（*）的解为，所以函数的零点为.。。。。。6分
（2）（）
，
设，则函数在区间上是减函数，当时，此时，，所以。①若，则，方程有解；②若，则，方程有解。。。。。12分
21. ⑴因为函数，
所以，，…………………………………………2分
又因为，所以函数在点处的切线方程为． …………4分
⑵由⑴，．
因为当时，总有在上是增函数，
又，所以不等式的解集为，
故函数的单调增区间为．………………………………………………8分
⑶因为存在，使得成立，
而当时，，
所以只要即可．
又因为，，的变化情况如下表所示：
减函数 极小值 增函数
所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值
，的最大值为和中的最大值．
因为，
令，因为，
所以在上是增函数．
而，故当时，，即；
当时，，即．
所以，当时，，即，函数在上是增函数，解得；当时，，即，函数在上是减函数，解得．
综上可知，所求的取值范围为．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
22、（Ⅰ），∵是函数的极值点，∴.∵1是函数的零点，得，
由解得. ………2分
∴,，
令，，得； 令得，
所以在上单调递减；在上单调递增.……4分
故函数至多有两个零点，其中，
因为，
，所以，故．……6分
（Ⅱ）令，，则为关于的一次函数且为增函数，根据题意，对任意，都存在，使得成立，则在有解，
令，只需存在使得即可，
由于=，
令，，
∴在(1，e)上单调递增，，………9分
①当，即时，，即，在(1，e)上单调递增，∴，不符合题意.
②当，即时，，
若，则，所以在(1，e)上恒成立，即恒成立，∴在(1，e)上单调递减,
∴存在，使得，符合题意.
若，则，∴在(1，e)上一定存在实数，使得，∴在(1，)上恒成立，即恒成立， 在(1，)上单调递减,∴存在，使得，符合题意.
综上所述，当时，对任意，都存在，使得成立.…………12分
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