肇庆市中小学教学质量评估2015届高中毕业班第一次模拟数 学（科）. 考试用时120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡.2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.参考公式： 锥体的体积公式其中S为锥体底面积，为锥体高. 一、选择题：本大题共小题，每小题5分，满分0分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={，集合大于且小于4的整数}，则A．( B． C． D．2．定义域为R的四个函数，，中偶函数的个数是A． B． C．D． 3．设是虚数单位，，为复数的共轭复数，则 A． B． C． D．4．二项式的展开式中的系数是A． B． C． D．5．某四棱锥的三视图如图1所示单位：cm，则该四棱锥的体积是A．B．C．D． 6．若如图2所示的程序框图输出的S是30，则在判断框中M表示的条件应该是A． B．C． D．7．下列命题中真命题是 A．；B．；C．”是”的充分不必要条件； D．设为向量则”是”的必要不充分条件．设向量，定义一种向量积：．已知向量，，点P在的图象上运动，点Q在的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则在区间上的最大值是A． B． C． D．二、填空题：本大题共小题，考生作答小题，每小题5分，满分0分. （一）必做题（～13题）9函数的定义域为 ▲ .曲线在处的切线方程为 ▲ .已知等比数列满足，则 ▲ .．在平面直角坐标系xOy中为不等式组所表示的区域一动点则的最小值 ▲ .13．已知集合，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为 ▲ .（ ） ▲ 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标为 ），曲线C在点）处的切线为l以极点为坐标原点极轴为x轴的正半轴建立坐标系则l的方程为 ▲ .15．（几何证明选讲选做题）如图△ABC的外角平分线AD交外接圆于D，则DC= ▲ .三、解答题本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分），，，函数.（1）求函数的表达式；（2）求的值；（3）若，，求的值.17．（本题满分13分）某中学高的一次测成绩分组区间是： ，7；，10；，x；[90，100]，2. 其频率分布直方图受到破坏，可见部分如下图所示，据此解答如下问题.（1）求人数及x的；（2）计算频率分布直方图中的矩形的高；（3）从成绩不低于80分的中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求数学期望.18．（本小题满分13分）中，D、E分别是BC和的中点，已知（）求证：⊥平面；（）求二面角的余弦值（）求三棱锥的体积.19．（本小题满分14分）的前n项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设为数列{}的前n项和，求；（3）设，证明：.20．（本小题满分14分）设双曲线（a>0，b>0）的一个焦点坐标为（，0），离心率， A、B两点，AB中点求直线AB；如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D是否共圆为什么？21．（本小题满分14分）设函数.1）若函数在区间内恰有两个零点求a的取值范围2）当a=1时求函数在区间t，t+3]上的最大值.肇庆市201届高中毕业班第次 10． 11．16 12．13．33 14． 15．三、解答题16．（本小题满分12分）解，，，∴，即函数. （3分）（2） （6分）（3）∵，又，∴，即. （7分）∵，∴. （8分）∴， （9分）. （10分）∴ （11分） . （12分）17．（本小题满分13分）解（1）由分数在之间的频数为2 频率为，所以人数为（人） 的（人）. （4分）（2）从分组区间. （6分）由（1）知分数在之间的频数为4频率为 所以频率分布直方图中的矩形的高为 成绩不低于80分的4+2=6（人），成绩在90分以上(含90分)的人数人，所以的取值为0，1，2. （9分），，，（10分）所以的分布列为：012（分）的数学期望为 （13分）18．（本小题满分13分）方法一：依题意建立如图空间直角坐标系-xyz.因为＝4，B（4，0，0），E（0，4，2），D（2，2，0），B1（4，0，4）. （分）（），. （分），所以，即. （3分）因为，所以，即. （4分）又AD、AE(平面⊥平面.（）为平面AE的法向量. （分）设平面 B1AE的法向量为，，所以由，得，令y=1，得x=2，z=-2.即.（7分）∴， （8分）∴二面角的余弦值为. （9分）（3），，得，所以AD⊥DE. （分），. （11分）由（1）得B1D为三棱锥B1-ADE的高，且， （12分）所以. （13分）方法：依题意平面ABC，，，.（1）∵，为，∴A⊥BC. ∵B1B⊥平面ABC，平面ABC∴AD⊥B1B. BC、B1B(平面B1BCC1，且BC∩B1B=B，所以AD⊥平面B1BCC1.又B1D(平面B1BCC1，故B1D⊥AD . （分），，，得，所以. （分）(平面AED，且AD∩DE=E，故⊥平面. （5分）（）过做M⊥AE于点M，连接B1M.B1D⊥平面AE，(平面AED，得AE ⊥B1D.又B1D、DM(平面B1DM，且B1D∩DM=D，故AE⊥平面B1M.因为B1M(平面B1DM，所以B1M⊥AE.故∠B1MD为二面角B1—AE—的平面角. （分）AD⊥平面B1BCC1，又DE(平面B1BCC1，所以AD⊥DE.在Rt△AE中，在Rt△B1中，，即二面角B1—AE—的余弦值为. （分）（3）AD⊥平面B1BCC1，所以AD为三棱锥A-B1DE的高，且. （10分）由（1）得. （11分）故. （13分19．（本小题满分14分）解时，有， （1分）两式相减得 即. （2分）由，得. 所以对一切正整数n，有， （3分）故，即. （4分）（2）由（1），得，所以 ① （5分）①两边同乘以，得 ② （6分）①-②，得， （7分）所以， （8分）故. （9分）（3）由（1），得 （12分） （13分）. （14分）20．（本小题满分14分）解，解得a=1. （1分）所以， （2分）故双曲线C的方程为. （3分）（2）设则 .两式相减得： （4分）由题意得，，， （5分）所以，即. （6分）故直线AB的方程为. （7分）（3）假设A、B、C、D共圆，. 因AB为弦，在AB垂直平分线CD上；又CD为弦，圆心为CD中点. （8分）下面只需证CD中点满足A=MB=MC=MD即可.由得：. （9分）由（1）得直线CD方程：由得：，6-），D（-3-，6+）， （11分）所以CD的中点M（-3，6）. （12分）因为，，，， （13分）所以，即 A、B、C、D以（-3，6）为圆心，为半径的圆上.21．（本小题满分14分）解：（1）∵∴， （1分）令，解得 （2分）当x变化时，，的变化情况如下表：0—0?极大值?极小值?故函数的单调递增区间为（-∞，-1），（a，+∞）；单调递减区间为（-1，a）；（4分）因此在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，要使函数在区间内恰有两个零点，当且仅当， （5分）解得， 所以a的取值范围是（0，）. （6分）（2）当a=1时，. 由（1）可知，函数的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞）；单调递减区间为（-1，1）. （分）①当t+32，即t>-1时，由②得在区间上的最大值为. 因为在区间（1，+∞）上单调递增，所以，故在上的最大值为.（13分）综上所述，当a=1时，在t，t+3]上的最大值. 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源 1 12 每天发布最有价值的高考资源广东省肇庆市2015届高三3月第一次模拟数学理试题
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