高三数学（理科）期末试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分）1. 定义，已知。则（ ） A. B. C. D. 2.复数满足则等于 （ ）A. B. C. D.3.设函数的图像关于直线对称，它的周期是，则 （ ）A.的图象过点 B. 在上是减函数 C. 的一个对称中心是 D. 的最大值是4. 等差数列的前项和为,那么值的是 A. B. C. D.5．一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为 （ ）A． B. C. D. 6．阅读程序，若输出的结果为，则在程序中横线 ? 处应填入语句为 B. C. D. 7.若，设函数的零点为的零点为，则的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 8.在中产生区间上均匀随机数的函数为“( )”,在用计算机模拟估计函数的图像、直线和轴在区间上部分围成的图形面积时，随机点与该区域内的点的坐标变换公式为 （ ）A. B. C. D. 9．如图是某位篮球运动员8场比赛得分的茎叶图，其中一个数据染上污渍用代替，这位运动员这8场比赛的得分平均不小于得分中位数的概率为 B． C． D．10. 已知函数，集合，集合，则集合的面积是A． B． C． D．，圆（其中为常数，0）过点的直线交圆于两点，交抛物线于两点，且满足的直线只有三条的必要条件是 （ ）A． B. C. D. 12．函数为定义在上的减函数，函数的图像关于点（1,0）对称， 满足不等式，，为坐标原点，则当时，的取值范围为A． B． C． D． 展开式中含项的系数为 .14.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为 15. 若数列满足，则该数列的前项的乘积 是锐角的外接圆的圆心，且，若，则 .（用表示）三、解答题（本题共6小题，共70分）17. （本小题满分12分）已知向量，（），求;（）的三边满足，且边所对应的角为，若关于的方程有且仅有一个实数根，求的值.18.（本小题满分12分）现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对 “楼市限购令”赞成人数如下表．月收入（单位百元）[15,25[25，35[35，45[45，55[55，65[65,75频数510151055赞成人数4812521（）由以上统计数据填下面2乘2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以为分界点对“楼市限购令” 的态度有差异；月收入不低于55百元人数月收入低于55百元人数合计赞成不赞成合计（)若对月收入在[15，25 ，[25，35的被调查中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”人数为 ，求随机变量的分布列及数学期望.0.0500.0100.0013.8416.63510.828 19. （本小题满分12分）各项均为正数的数列满足，且是、的等差中项.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)若，求使成立的n的最小.20. （本小题满分12分）在四棱锥中，平面平面，，在锐角中，并且，（1）点是上的一点，证明：平面平面；（2）若与平面成角，当面平面时，求点到平面的距离．已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为，过点的直线与椭圆相交于两点（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围．一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分）123456789101112BCCCABBDDCDD二、填空题（本大题包括4小题每小题5分，共20分）13．1 14.600 15.2 16. 三、解答题（本题共6小题，共70分）17. 有且仅有一个实数根，求的值.gkstk17. 解：（Ⅰ） ……………2分由于，， ……………6分（Ⅱ）, …………8分当或时，直线和有一个交点。则 ……………12分18. (I)先列出列联表然后利用公式,计算出值,再根据k值是否大于6.635,来确定是不是有没有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异(II)先确定所有可能取值有0,1,2,3（Ⅰ）2乘2列联表月收入不低于55百元人数月收入低于55百元人数合计赞成32不赞成18合计104050所以没有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异. ……（6分） （Ⅱ）所有可能取值有0, 1,2,3，，所以的分布列是0123所以的期望值是. …………………（12分）20. 18解法一（1）因为，，由勾股定理得，因为平面平面，平面平面=，面，所以平面面，所以平面平面 ………6分平面，所以平面平面，所以，做于，所以面，，设面面=，面平面所以面面，所以，取中点，得为平行四边形，由平面边长得为中点，所以 ………12分过做垂线为轴，由（1），以为原点，为轴建立空间直角坐标系,设平面法向量为，设，锐角所以，由，解得，，，解得或（舍）设，解得因为面平面，，所以面法向量为，所以，解得，所以到平面的距离为竖坐标． ………12分（1） 由已知，所以，所以所以 …… 1分 又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为所以 …… 3分 所以 …… 4分 （2）设 设与椭圆联立得整理得得 …… 6分 由点在椭圆上得 …… 8分 又由 所以所以 …… 10分 所以 由得所以，所以或 …… 12分（1）解：f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得．当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0，当时，． 4分（2）F（x）=ax2+lnx+1（x＞0），．当a≥0时，恒有F'（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，令F'（x）＞0，得2ax2+1＞0，解得；令F'（x）＜0，得2ax2+1＜0，解得．综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，F（x）在上单调递增，在上单调递减．（3）证：．要证，即证，等价于证，令，则只要证，由t＞1知lnt＞0，故等价于证lnt＜t?1＜tlnt（t＞1）（*）．设g（t）=t?1?lnt（t≥1），则，故g（t）在[1，+∞）上是增函数，当t＞1时，g（t）=t?1?lnt＞g（1）=0，即t?1＞lnt（t＞1）．设h（t）=tlnt?（t?1）（t≥1），则h'（t）=lnt≥0（t≥1），故h（t）在[1，+∞）上是增函数，当t＞1时，h（t）=tlnt?（t?1）＞h（1）=0，即t?1＜tlnt（t＞1）．由知（*）成立，得证．zyxM运动员x 93 1012S=0n=2i=1DO S=S+1/n n=n*2 i=i+1LOOP UNTIL _?_PRINTEND黑龙江省某重点中学2015届高三上学期期末考试（数学理）
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