福建省闽侯二中、闽清高级中学、永泰二中、连江侨中、长乐二中2015届高三上学期期中联考数学（文科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，则=（ ）A.{0，1} B.{1} C.1D.{-1，0，1，2}2.已知复数（为虚数单位）则复数在复平面对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限 C.第三象限D．第四象限【答案】B【解析】试题分析：，所以，复数在复平面对应的点位于第二象限，选B.考点：复数的代数运算，复数的概念.3.“△的三个角A，B，C成等差数列”是“△为等边三角形”的( )A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A4.等差数列中，若，则等于（ ）A．3 B．4 C．5 D．65.函数的零点所在的区间为A.（1,2） B.（2,3） C.（3,4） D.（4,5）6.在△ABC中，角A，B，C的对边为,若，则角A= （ ）A．30° B．30°或105° C．60° D．60°或120°【答案】D【解析】7.在中, ,，为的中点 ,则=（ ）A．3 B． C．-3 D．8.、为平面向量，已知，则、夹角的余弦值等于（ ）.A． B． C． D．9.在△ABC中，若，则△ABC是A.等边三角形 .锐角三角形C.钝角三角形 .直角三角形10.已知定义在上的函数是偶函数，对时，的值为（ ）A．－2 B. 2 C.4 D.－411.在数列中，，，则 =( )A．2+(n－1)lnnB 2+lnnC． 2+nlnnD．1+n+lnn 【答案】B【解析】12.式子满足，则称为轮换对称式．给出如下三个式子：①； ②； ③是三角形的内角）．其中，为轮换对称式的个数是（ ）A． C. D. ，∴，故是轮换对称式，故选C．考点：新定义，三角函数的诱导公式、两角和差的三角公式.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）15.已知数列的递推公式，则 ；数列中第8个5是该数列的第 项16.如图所示，是定义在区间上的奇函数，令，并有关于函数的个论断：若，对于内的任意实数，恒成立；是奇函数的充要条件是；③任意，的导函数有两个零点；若，则方程必有3个实数根； 所有正确结论的序号是________【解析】试题分析：①对于内的任意实数，内单调增函数，故命题正确；三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分12分) 已知向量（1）求，并求在上的投影（2）若，求的值，并确定此时它们是同向还是反向？【答案】（1）；（2）. …12分18.（本小题满分12分）在中，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的面积．（Ⅰ）. （Ⅱ）. （Ⅰ）19.（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，且.(I)求数列的通项公式；(II)设等比数列，若，求数列的前项和(Ⅲ)设，求数列的前项和【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；(Ⅲ).【解析】试题分析：（Ⅰ）两种思路，一是根据等差数列的通项公式、求和公式，建立的方程组；二是利用等差数列的性质，由，得，结合，确定.法二：由，得，所以． ……………………（2分）又因为，所以公差． ………………………（3分）从而． …………………（4分）（Ⅱ）由上可得，，所以公比， 从而， …………………………（6分）所以． …………………（8分）20.（本小题满分12分）设＝(2cos,1),＝(cos,sin2),＝?，R.⑴ 若＝0且[,],求的值；⑵ 若函数＝ ()与的最小正周期相同，且的图象过点(，2)，求函数的值域及单调递增区间.（2）由（1）知∴ ∴……8分∴＝ ∴的值域为，单调递增区间为.…………12分考点：平面向量的坐标运算，三角函数的和差倍半公式，三角函数的性质.21.（本小题满分12分） 岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行，观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处，随即以每小时10 海里的速度前往拦截．（I）问：海监船接到通知时，距离岛A多少海里？（II）假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．，是大于零的常数． （Ⅰ）当时,求的极值；（Ⅱ）若函数在区间上为单调递增，求实数的取值范围；(Ⅲ)证明：曲线上存在一点，使得曲线上总有两点，且成立.. 设是图象任意一点,由，可得，根据，可知点在曲线上，作出结论.本题难度较大，关键是能否认识到极大值、极小值点,的中点即为所求.（Ⅱ），若函数在区间上为单调递增，则在上恒成立，福建省长乐二中等五校2015届高三上学期期中联考数学（文）试题
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