北京市西城区2015 — 2014学年度第一学期期末试卷 高三数学（理科） 2014.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，，则集合（ ）（A）（B）（C）（D）2．已知复数z满足，那么的虚部为（ ）（A）（B）（C）（D）3．在△ABC中，，，，（ ）（A）（B）（C）（D）4．执行如图所示的程序框（B）（C）（D）5．已知圆与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是（ ）（A）（B）（C）（D）6． 若曲线为焦点在轴上的椭圆，则实数,满足（ ）（A）（B）（C）（D）7．定义域为R的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为（ ） （A） （B） （C） （D） 8. 如图，正方体的棱长为，动点P在对角线上，过点P作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设x，则当时，函数的值域为（ ）（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在平面中，点，，若向量，则实数 _____．10．满足，，则______；______．11．______．12．甲、乙两从中各选，则所选的中恰有1相同的选法______. （用数字作答）13．为圆上的两个点，为延长线上一点，为圆的切线，为切点. 若，，则______；______．14．平面中，记不等式组所表示的平面区域为.在映射的作用下，区域内的点对应的象为点. （1）在映射的作用下，点的原象是 ；（2）由点所形成的平面区域的面积为______．15．13分）已知函数，，且的最小正周期为.（Ⅰ）若，，求的值；（Ⅱ）求函数的单调增区间.16．13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组名同学乙组记录中有一个数模糊，无法确认，表示． （）求的值时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为，求随机变量的分布列和数学期望17．14分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3， H是CF的中点.（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）求直线DH与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角的大小.18．13分）已知函数，其中.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）时，试确定函数的零点个数，并说明理由.19．14分）已知是抛物线的坐标为，直线的斜率为k， 为坐标原点.（Ⅰ）若抛物线的下方，求k的取值范围；（Ⅱ）设C为W上一点，且，过两点分别作W的切线，记两切线的交点为，求的最小值.20．13分）设无穷的公比为q，且，表示不超过实数的最大整数（如）,记，数列的前项和为，数列的前项和为.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若对于任意不超过的正整数n，都有，证明：.（）（）的充分必要条件为.北京市西城区2015 — 2014学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准 2014.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．．．．．．．．．． 11． ．． 14．注：第10、12分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．13分） （Ⅰ）解：因为的最小正周期为， 所以 ，解得． ……………… 3分 由 ，得， 即 ， ……………… 4分 所以 ，. 因为 ， 所以. ……………… 6分（Ⅱ）解：函数 ……………… 8分， ………………10分由 ， ………………11分解得 ． ………………12分所以函数的单调增区间为.…………13分16．13分）（Ⅰ）解：， ……………… 2分解得 分：， ……………… 4分，共有10种可能. ……………… 5分时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．… 6分． ……………… 7分时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有种，，，，，，，，， ……………… 9分的所有取值为. ……………… 10分，，，，.……………… 11分的分布列为：01234………………12分的数学期望17．14分）（Ⅰ）证明：因为四边形是菱形，所以 . ……………… 1分因为平面平面，且四边形是矩形， 所以 平面， ……………… 2分又因为 平面，所以 . ……………… 3分因为 ，所以 平面. ……………… 4分（Ⅱ）解：设，取的中点，连接，因为四边形是矩形，分别为的中点，所以 ，又因为 平面，所以 平面，由，得两两垂直.所以以为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系. ……………… 5分因为底面是边长为2的菱形，，，所以 ，，，，，. ………………6分因为 平面， 所以平面的法向量. …………7分设直线与平面所成角为，由 ， 得 ，所以直线与平面所成角的正弦值为. ………………9分（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得，.设平面的法向量为，所以 ………………10分即 令，得. ………………11分由平面，得平面的法向量为，则. ………………13分由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为，，所以．，得．变化时，和的变化情况如下：??……………… 5分故的单调减区间为；单调增区间为．有且仅有一个零点. ……………… 7分理由如下：由，得方程， 显然为此方程的一个实数解. 所以是函数的一个零点. ……………… 9分当时，方程可化简为. 设函数，则，令，得．变化时，和的变化情况如下：??即的单调增区间为；单调减区间为．的最小值. ………………11分因为 ， 所以，所以对于任意，，因此方程无实数解．时，函数不存在零点.综上，函数有且仅有一个零点. ………………13分19．14分）（Ⅰ）解：抛物线. ……………… 1分由题意，得直线的方程为， ……………… 2分令 ，得，即直线与y轴相交于点. ……………… 3分因为抛物线的下方，所以 ，解得 . ……………… 5分（Ⅱ）解：由题意，设，，，联立方程 消去，得， 由韦达定理，得，所以 . ……………… 7分同理，得的方程为，. ……………… 8分对函数求导，得，所以抛物线在点处的切线斜率为，所以切线的方程为， 即. ……………… 9分同理，抛物线在点处的切线的方程为.………………10分联立两条切线的方程解得，，所以点的坐标为. ………………11分因此点在定直线上. ………………12分因为点到直线的距离，所以，当且仅当点时等号成立． ………………13分由，得，验证知符合题意.所以当时，有最小值. ………………14分20．13分）（Ⅰ）解：由等比数列的，，得，，，且当时，. ……………… 1分 所以，，，且当时，. ……………… 2分 即 ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为 ，所以 ，. ……………… 4分因为 ，所以 ，. ……………… 5分 由 ，得 . ……………… 6分因为 ， 所以 ， 所以 ，即 . ……………… 8分（），， 所以 ， 所以 对一切正整数n都成立. 因为 ，，所以 . ……………… 9分（必要性）因为对于任意的，，当时，由，得；当时，由，，得.所以对一切正整数n都有. 由 ，，得对一切正整数n都有， ………………10分所以公比为正有理数. ………………11分假设 ，令，其中，且与的最大公约数为1. 因为是一个有限整数，所以必然存在一个整数，使得能被整除，而不能被整除.又因为，且与的最大公约数为1. 所以，这与（）矛盾.所以.因此，. ……………13分 第 2 页 共 14 页PD1 C1D CDHAECBFHDCOP.FA 是否结束输出Si=i+1i=1，S=0开始228a1098乙组甲组 A1 B1A BBA2BEC侧(左)视图OzNxy北京市西城区2015—2015学年度高三第一学期期末数学(理)试题(WORD精校版)
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