教案26 指数函数与对数函数（2）
一、前检测
1. 已知函数 （ ）与函数 （ ），则 的值域是（ D ）
A．都是 B．都是 C．分别是 、 D．分别是 、

2. 设 ，函数 在区间 上的最大值与最小值之差为 ，则 （ D ）
A． B．2 C． D．4

3. 已知 ，则（ A ）
A.1＜n＜m B. 1＜m＜n C.m＜n＜1 D. n＜m＜1
二、知识梳理
1．对数函数的定义：一般地，把函数 叫做对数函数.
解读：
2．对数函数的图象与性质：
函数对数函数：

底数范围
图

象
性

质定义域： 定义域：
值 域： 值 域：
过点 ，即 .
当 时，
当 时，
当 时，
当 时，

是 的增函数是 的减函数
解读：
3．同底的指数函数 与对数函数 互为反函数；
解读：
三、典型例题分析
例1 比较下列各组数的大小：
（1） 与 ； 答案：大于

（2） 与 ； 答案：小于

（3） 与 ； 答案：大于

变式训练：比较大小： ；
答案：

小结与拓展：比较对数式的大小常用的有三种：（1）当底数相同时可直接利用对数函数的单调性比较；（2）当底数不同，真数相同时，可转化为同底或利用对数函数图像比较；（3）当底数不同，真数也不相同时，则可利用中间量比较

例2 已知f（x）=log ［3－（x－1）2］，求f（x）的值域及单调区间.
解：∵真数3－（x－1）2≤3，
∴log ［3－（x－1）2］≥log 3=－1，即f（x）的值域是［－1，+∞）.又3－（x－1）2＞0，
得1－ ＜x＜1+ ，∴x∈（1－ ，1］时，3－（x－1）2单调递增，从而f（x）单调递减；
x∈［1，1+ ）时， 单调递增.

小结与拓展： 讨论复合函数的单调性要注意定义域

变式训练：函数 在[2，＋∞）上是减函数，则 的取值范围是（ B ）
A．（－∞，4）B．（－4，4] C．（－∞，－4）∪[2，＋∞] D．[－4，4]

例3 已知函数f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有f(x)≥1成立，
试求a的取值范围.?
解：当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0.?
所以，f(x)=f(x),而f(x)=logax在［3，+∞）上为增函数，
∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥loga3.
因此，要使f(x)≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立.?
只要loga3≥1=logaa即可，∴1＜a≤3.
当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0,?
∴f(x)=-f(x).
∵f（x）=logax在［3，+∞）上为减函数，?
∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数.?
∴对于任意x∈［3，+∞）都有?
f(x)=-f(x)≥-loga3.
因此，要使f(x)≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立，?
只要-loga3≥1成立即可，?
∴loga3≤-1=loga ,即 ≤3,∴ ≤a＜1.?
综上，使f(x)≥1对任意x∈［3，+∞）都成立的a的取值范围是：(1，3］∪［ ，1）.

变式训练：已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间（-∞,?1- ］上是单调递减函数.求实数a的取值范围.?
解：令g(x)=x2-ax-a,
则g(x)=（x- ）2-a- ,?由以上知g(x）的图象关于直线x= 对称且此抛物线开口向上.?
因为函数f(x)=log2g(x)的底数2＞1,?
在区间（-∞,1- ］上是减函数，?
所以g(x)=x2-ax-a在区间（-∞,1- ］上也是单调减函数，且g(x)＞0.?
∴
解得2-2 ≤a＜2.?
故a的取值范围是{a2-2 ≤a＜2}.

小结与拓展：（1）处理对数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解.
（2）解决含有参数的对数函数的讨论问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.

四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）
1.知识：
2.思想与方法：
3.易错点：
4.反思（不足并查漏）：

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