第7讲三角恒等变换、三角函数的图象与性质
重点：掌握三角恒等变换、三角函数的图象与性质的应用
难点：三角恒等变换及数形结合的应用
近两年高考考点：2010年：11题正余弦定理的应用
16题三角恒等变换、三角函数的图象与性质的应用
2011年：16题三角恒等变换、三角函数的图象与性质的应用
一、知识复习：
1．⑴角度制与弧度制的互化： 弧度 ， 弧度， 弧度
⑵弧长公式： ；扇形面积公式： 。
2．三角函数定义：角 中边上任意一点 为 ，设 则：

3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；
4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”；
sin(2kπ+α)=________ , cos(2kπ+α)=________, tan(2kπ+α)=_________;
sin(-α)=_________ , cos(-α)=_________, tan(-α)=_________;
sin(π-α)=_________ , cos(π-α)=_________, tan(π-α)=_________;
sin(π+α)=________ , cos(π+α)=________, tan(π+α)=__________;
sin(2π-α)=_________ , cos(2π-α)=_________, tan(2π-α)=__________;
sin( -α)=_____ , cos( -α)=______, sin( +α)=_____ , cos( +α)=______,
sin( -α)=_____ , cos( -α)=______,sin( +α)=_____ ,cos( +α)=______,
5．同角三角函数的基本关系： ， ；
6．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：① =

② = ③ = 。

④
7．二倍角公式：① ； =
②
， ， ；
③ ， = 。
8．常用降幂公式：
=__________， =__________， =__________， =___________.
=________ , =_________ ,
9.常用合一变形:
=__________________________.
=__________________ , =__________________ ,
=__________________ , =__________________ , =________________ , =_____________ .
10．三角函数的图像和性质

图像
定义域
值域
最小正周期
奇偶性
对称轴
对称中心
递增区间
递减区间
最大值
最小值
注意：⑴ 对称轴： ；对称中心： ；
⑵ 对称轴： ；对称中心： ；
二、体验高考
1.（2011东理6）若函数 (ω>0)在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，则ω=
A．3 B．2 C． D．
2.（2011全国新标理11）设函数 的最小正周期为 ，且 则
（A） 在 单调递减 （B） 在 单调递减
（C） 在 单调递增 （D） 在 单调递增
3.（2011辽宁理16）已知函数 =Atan（ x+ ）（ ），y= 的部分图像如右图，则
4.（2011湖北理3）已知函数 ，若 ，则x的取值范围为

A. B．
C． D．

5.（2011江苏9）函数 是常数， 的部分图象如图所示，则f(0)=

6.（2011广东理16）已知函数
(1)求 的值；
(2)设 求 的值.

三、例题讲解
考向一：三角恒等变换及其求值
例1、已知 ，则

例2、（1）．已知 . (I)求 的值； (II)求 的值。

(2）． 已知 ， 求 的值.

考向二：函数 的解析式及图象变换
例3：（1）（2011年浙江宁波模拟）设偶函数 ，其中 ， 的部分图象如图所示。 为等腰直角三角形， ，L＝1，则
A. B. C. D.

（2）. （2011年揭阳一模）已知函数 的图象与 轴的两个相邻交点的距离等于 ，则为得到函数 的图象可以把函数 的图象上所有的点
A. 向右平移 ，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原的2倍;
B. 向右平移 ，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原的2倍;
C. 向左平移 ，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原的 倍;
D. 向左平移 ，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原的2倍.
例4：（2011年东潍坊一模）函数 （其中 ）的部分图象如图所示。
（1）求 的解析式；
（2）设 ，求函数 在 上的最大值，并确定此时x的值。

考向三：三角函数的奇偶性与对称性
例5：（1）（2011年湖南长沙模拟）定义行列式运算a1　a2a3　a4＝a1a4－a2a3.将函数f(x)＝3　sinx1　 cosx的图象向左平移n(n>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为________．
（2）（2011年安徽合肥质检）已知函数 的图象关于直线 对称，且 ，则 的最小值为
A.2 B.4 C.6 D.8
考向四：三角函数的周期性与单调性
例6：已知函数 在 时取得最大值，（1） 在 上的单调增区间为
A. B. C. D.

（2）若A＝2，请画出 在 上的图象。

例7：已知 ， ， 。 设函数
（1）函数 的最小正周期
（2）函数 的单调区间；
（3）函数 的最大值及对应 的取值的集合，最小值及对应 的取值的集合
（4）当 时， 恒成立，求实数m的取值范围

四、巩固练习

1、已知函数 （其中 ）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 ，且图象上一个最低点为 .
(Ⅰ)求 的解析式；（Ⅱ）当 ，求 的值域.

2、已知函数 （其中 ， ）的最大值为2，直线 、 是 图象的任意两条对称轴，且 的最小值为 ．
⑴求 ， 的值；⑵若 ，求 的值．

3、（2011广东省三校联考）
已知函数
（1）求 的值域；
（2）若 （x>0）的图象与直线 交点的横坐标由小到大依次是 ，求数列 的前2n项的和。

4．已知定义在区间 上的函数 的图象关于直线 对称，当
时，函数 ，其图象如图.

（1）求函数 在 的表达式；
（2）求方程 的解.

第7讲三角恒等变换、三角函数的图象与性质
教学重点：掌握三角恒等变换、三角函数的图象与性质的应用
教学难点：三角恒等变换及数形结合的应用
近两年高考考点：2010年：11题正余弦定理的应用
16题三角恒等变换、三角函数的图象与性质的应用
2011年：16题三角恒等变换、三角函数的图象与性质的应用

一、知识复习：
1．⑴角度制与弧度制的互化： 弧度 ， 弧度， 弧度
⑵弧长公式： ；扇形面积公式： 。
2．三角函数定义：角 中边上任意一点 为 ，设 则：

3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；
4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”；
sin(2kπ+α)=________ , cos(2kπ+α)=________, tan(2kπ+α)=_________;
sin(-α)=_________ , cos(-α)=_________, tan(-α)=_________;
sin(π-α)=_________ , cos(π-α)=_________, tan(π-α)=_________;
sin(π+α)=________ , cos(π+α)=________, tan(π+α)=__________;
sin(2π-α)=_________ , cos(2π-α)=_________, tan(2π-α)=__________;
sin( -α)=_____ , cos( -α)=______, sin( +α)=_____ , cos( +α)=______,
sin( -α)=_____ , cos( -α)=______,sin( +α)=_____ ,cos( +α)=______,
5．同角三角函数的基本关系： ， ；
6．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：① =

② = ③ = 。

④
7．二倍角公式：① ； =
②
， ， ；
③ ， = 。
8．常用降幂公式：
=__________， =__________， =__________， =___________.
=________ , =_________ ,
9.常用合一变形:
=__________________________.
=__________________ , =__________________ ,
=__________________ , =__________________ , =________________ , =_____________ .
10．三角函数的图像和性质

图像
定义域
值域
最小正周期
奇偶性
对称轴
对称中心
递增区间
递减区间
最大值
最小值
注意：⑴ 对称轴： ；对称中心： ；
⑵ 对称轴： ；对称中心： ；

二、体验高考
1.（2011东理6）若函数 (ω>0)在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，则ω=
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
2.（2011全国新标理11）设函数 的最小正周期为 ，且 则
（A） 在 单调递减 （B） 在 单调递减
（C） 在 单调递增 （D） 在 单调递增
【答案】A

3.（2011辽宁理16）已知函数 =Atan（ x+ ）（ ），y= 的部分图像如下图，则 ．

【答案】
4.（2011湖北理3）已知函数 ，若 ，则x的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】B
5.（江苏9）函数 是常数， 的部分图象如图所示，则f(0)=
【答案】
6.（2011广东理16）已知函数
(3)求 的值；
(4)设 求 的值.
解：（1）

故
三、例题讲解
考向一：三角恒等变换及其求值
例1、（2011年安徽八校联考）已知 ，则

例2、（1）．已知 . (I)求 的值； (II)求 的值。

（2）． 已知 ， 求 的值.

考向二：函数 的解析式及图象变换
例3：（1）（2011年浙江宁波模拟）设偶函数 ，其中 ， 的部分图象如图所示。 为等腰直角三角形， ，L＝1，则
A. B. C. D.

（2）. （2011年揭阳一模）已知函数 的图象与 轴的两个相邻交点的距离等于 ，则为得到函数 的图象可以把函数 的图象上所有的点
A. 向右平移 ，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原的2倍;
B. 向右平移 ，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原的2倍;
C. 向左平移 ，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原的 倍;
D. 向左平移 ，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原的2倍.
6. 依题意知 ，故 ，故选A.
例4：（2011年东潍坊一模）函数 （其中 ）的部分图象如图所示。
（3）求 的解析式；
（4）设 ，求函数 在 上的最大值，并确定此时x的值。

考向三：三角函数的奇偶性与对称性
例5：（1）（2011年湖南长沙模拟）定义行列式运算a1　a2a3　a4＝a1a4－a2a3.将函数f(x)＝3　sinx1　 cosx的图象向左平移n(n>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为________．
解析：f(x)＝3　sinx1　 cosx＝3cosx－sinx＝2cos(x＋π6)，
图象向左平移n(n>0)个单位，
得f(x＋n)＝2cos(x＋n＋π6)，则当n取得最小值56π时，函数为偶函数．
答案：56π
（2）（2011年安徽合肥质检）已知函数 的图象关于直线 对称，且 ，则 的最小值为
A.2 B.4 C.6 D.8

考向四：三角函数的周期性与单调性
例6：已知函数 在 时取得最大值，则 在 上的单调增区间为
A. B. C. D.
例7：（2011年广东六校联考）已知 ， ， 。
（5）函数 的最大值和最小正周期；
（6）函数 的单调递增区间。

四、巩固练习

1 、设函数
（1）若 ，求 ①函数 的单调区间；
②求最大值及对应 的取值的集合，求最小值及对应 的取值的集合
③ 画出函数在此范围内的图像
（2）当 时， 恒成立，求实数m的取值范围

2、已知函数 （其中 ）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 ，且图象上一个最低点为 .
(Ⅰ)求 的解析式；（Ⅱ）当 ，求 的值域.

3、已知函数 （其中 ， ）的最大值为2，直线 、 是 图象的任意两条对称轴，且 的最小值为 ．
⑴求 ， 的值；⑵若 ，求 的值．

4、（2011广东省三校联考）
已知函数
（1）求 的值域；
（2）若 （x>0）的图象与直线 交点的横坐标由小到大依次是 ，求数列 的前2n项的和。

5．已知定义在区间 上的函数 的图象关于直线 对称，当
时，函数 ，其图象如图.

（1）求函数 在 的表达式；
（2）求方程 的解.

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