2013届高中科数学高考复习辅导2
一、选择题：每小题只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．
1．函数y＝log2x－2的定义域是(　　)
A．(3，＋∞)　　　　 B．[3，＋∞) C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)
2．设集合A＝{(x，y) }，B＝{(x，y)y＝2x}，则A∩B的子集的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知全集I＝R，若函数f(x)＝x2－3x＋2，集合＝{xf(x)≤0}，N＝{x <0}，则∩∁IN＝(　　)
A．[32，2] B．[32，2) C．(32，2] D．(32，2)
4．设f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x＋x，则当x<0时，f(x)＝(　　)
A．－(－12)x－x B．－(12)x＋x C．－2x－x D．－2x＋x
5．下列命题①∀x∈R，x2≥x；②∃x∈R，x2≥x；③4≥3；④“x2≠1”的充要条件是“x≠1或x≠－1”．
其中正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
6． 已知下图（1）中的图像对应的函数为 ，则下图（2）中的图像对应的函数在下列给出的四个式子中，只可能是（ ）

7．在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为(　　)
A．(1.4,2) B．(1,1.4) C．(1，32) D．(32，2)
8．点(a，b)在函数y＝1x的图象上，点N与点关于y轴对称且在直线x－y＋3＝0上，则函数f(x)＝abx2＋(a＋b)x－1在区间[－2,2)上(　　)
A．既没有最大值也没有最小值 B．最小值为－3，无最大值
C．最小值为－3，最大值为9 D．最小值为－134，无最大值
9．已知函数 有零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

二、填空题：将正确答案填在题后横线上．
10．若全集U＝R，A＝{x∈N1≤x≤10}，B＝{x∈Rx2＋x－6＝0}，

则如图中阴影部分表示的集合为_______ _．

11．若lga＋lgb＝0(a≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝－bx的图象关于________对称．
12．设 ,一元二次方程 有正数根的充要条件是 = .
13．若函数f(x)在定义域R内可导，f(2＋x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，2)时，(x－2) >0.设
a＝f(1)， ，c＝f(4)，则a,b,c的大小为　　　　　　　.
14、已知 。若 为真， 为假，则实数 的取值范围是　　　　　 　.
15．给出定义：若－12<x≤＋12(其中为整数)，则叫做离实数x最近的整数，记作{x}＝.在此基础上给出下列关于函数f(x)＝x－{x}的四个命题：
①函数y＝f(x)的定义域为R，值域为[0，12]；②函数y＝f(x)的图象关于直线x＝k2(k∈Z)对称；
③函数y＝f(x)是周期函数，最小正周期为1；④函数y＝f(x)在[－12，12]上是增函数．
其中正确的命题的序号是______ __．
三、解答题：解答须写出字说明、证明过程和演算步骤．
16．设集合A＝{xx2＜4}，B＝{x1＜4x＋3}．
(1) 求集合A∩B；
(2) 若不等式2x2＋ax＋b＜0的解集为B，求a，b的值．

17．已知函数f(x)＝kx3－3(k＋1)x2－2k2＋4，若f(x)的单调减区间为(0,4)．
(1) 求k的值；
(2) 对任意的t∈[－1,1]，关于x的方程2x2＋5x＋a＝f(t)总有实根，求实数a的取值范围．

18． 已知函数f(x)＝log3(ax＋b)的部分图象如图所示．
(1) 求f(x)的解析式与定义域；
(2) 函数f(x)能否由y＝log3x的图象平移变换得到；
(3) 求f(x)在[4,6]上的最大值、最小值．

19. 已知以函数f(x)＝x3－x的图象上一点N(1，n)为切点的切线倾斜角为π4.
(1) 求、n的值；
(2) 是否存在最小的正整数k，使得不等式f(x)≤k－1995，对于x∈[－1,3]恒成立？若存在，求出最小的正整数k，否则请说明理由．

20．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当 时，车流速度 是车流密度 的一次函数．
（1）当 时，求函数 的表达式；
（2）当车流密度 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时） 可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）

21．已知函数f(x)＝x，g(x)＝alnx，a∈R.
(1) 若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；
(2) 设函数h(x)＝f(x)－g(x)，当h(x)存在最小值时，求其最小值φ(a)的解析式；

2013届高中科数学高考复习辅导2参考答案
一、选择题：
1．【解析】选D.y＝log2x－2的定义域满足log2x－2≥0，x>0，解这个不等式得x≥4.
2．【解析】选D.集合A中的元素是焦点在y轴上的椭圆上的所有点，集合B中的元素是指数函数y＝2x图象上的所有点，作图可知A∩B中有两个元素，∴A∩B的子集的个数是22＝4个，故选D.
3．【解析】选A.由f(x)≤0解得1≤x≤2，故＝[1,2]； <0，即2x－3<0，即x<32，故N＝(－∞，32)，∁IN＝[32，＋∞)．故∩∁IN＝[32，2]．
4．【解析】选B.当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝2－x－x.又f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－(12)x＋x.故选B.
5．【解析】选C.①当x＝12时，x2<x，故该命题错误；②解x2≥x得x≤0或x≥1，故该命题正确；
③为真命题；④“x2≠1”的充要条件是“x≠1且x≠－1”．
6．选D
7．【解析】选D.令f(x)＝x3－2x－1，则f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，f(32)＝－58<0.故下一步可断定该根所在区间为(32，2)．
8．【解析】选D.由已知b＝1a，即ab＝1，又N点(－a，b)在x－y＋3＝0上，
∴－a－b＋3＝0，即a＋b＝3.∴f(x)＝abx2＋(a＋b)x－1＝x2＋3x－1＝(x＋32)2－134.
又x∈[－2,2)，由图象知：f(x)in＝－134，但无最大值．
9.C
二、填空题：
10．【解析】∵A＝{1,2,3,4,5，…，10}，B＝{－3,2}，∴A∩B＝{2}．即阴影部分表示的集合为{2}．
【答案】{2}
11．【解析】由lga＋lgb＝0⇒ab＝1⇒b＝1a，所以g(x)＝－a－x，故f(x)与g(x)关于原点对称．
【答案】原点
12【答案】3或4
13．【解析】选D.由f(2＋x)＝f(2－x)可得函数f(x)的对称轴为x＝2，故a＝f(1)＝f(3)，
c＝f(4), ．又由x∈(－∞，2)时，(x－2)f′(x)>0，可知f′(x)<0，即f(x)在(－∞，2)上是减函数，所以f(x)在(2，+∞)上是增函数于是f(4)>f(3)>f( )，即c>a>b.故选D.
14．【答案】
15．【解析】①由定义知：－12<x－{x}≤12，∴0≤x－{x}≤12 ∴f(x)的值域为[0，12]，
∴①对，②对，③对，④错． 【答案】①②③
三、解答题：
16．【解】(1)A＝{xx2＜4}＝{x－2＜x＜2}，B＝{x1＜4x＋3}＝{xx－1x＋3＜0}＝{x－3＜x＜1}，
A∩B＝{x－2＜x＜1}．
(2)因为2x2＋ax＋b＜0的解集为B＝{x－3＜x＜1}，所以－3和1为2x2＋ax＋b＝0的两根．
故－a2＝－3＋1b2＝－3×1，所以a＝4，b＝－6.
17．【解】(1)f′(x)＝3kx2－6(k＋1)x，又∵f′(4)＝0，∴k＝1.
(2)由(1)得f(x)＝x3－6x2＋2，∴f′(t)＝3t2－12t.
∵当－1<t<0时，f′(t)>0；当0<t<1时，f′(t)<0，且f(－1)＝－5，f(1)＝－3，∴f(t)≥－5.
∵2x2＋5x＋a≥8a－258，∴8a－258≤－5，解得a≤－158.
18．【解】(1)由图象中A、B两点坐标得2a＋b＝35a＋b＝9，解得a＝2b＝－1.故f(x)＝log3(2x－1)，定义域为(12，＋∞)．
(2)可以．由f(x)＝log3(2x－1)＝log3[2(x－12)]＝log3(x－12)＋log32，
∴f(x)的图象是由y＝log3x的图象向右平移12个单位，再向上平移log32个单位得到的．
(3)最大值为f(6)＝log311，最小值为f(4)＝log37.
19．【解】(1)f′(x)＝3x2－1，f′(1)＝tanπ4＝1，∴3－1＝1，∴＝23.
从而由f(1)＝23－1＝n，得n＝－13，∴＝23，n＝－13.
(2)存在．f′(x)＝2x2－1＝2(x＋22)(x－22)，令f′(x)＝0得x＝±22.
在[－1,3]中，当x∈[－1，－22]时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，
当x∈[－22，22]时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，此时f(x)在x＝－22时取得极大值．
当x∈[22，3]时，此时f′(x)＞0，f(x)为增函数，比较f(－22)，f(3)知f(x)ax＝f(3)＝15.
∴由f(x)≤k－1995，知15≤k－1995，∴k≥2010，即存在最小的正整数k＝2010，
使不等式在x∈[－1,3]上恒成立．
20．本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.
解析：（Ⅰ）由题意：当 时， ；当 时，设 ，显然 在 是减函数，由已知得 ，解得
故函数 的表达式为 =
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得
当 时， 为增函数，故当 时，其最大值为 ；
当 时， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
所以，当 时， 在区间 上取得最大值 ．
综上，当 时， 在区间 上取得最大值 ，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．

21．【解】(1)f′(x)＝12x，g′(x)＝ax(x>0)，由已知得x＝alnx，12x＝ax，解得a＝e2，x＝e2，
∴两条曲线交点的坐标为(e2，e)．切线的斜率为k＝f′(e2)＝12e，
∴切线的方程为y－e＝12e(x－e2)．
(2)由条件知h(x)＝x－alnx(x>0)，∴h′(x)＝12x－ax＝x－2a2x，
①当a>0时，令h′(x)＝0，解得x＝4a2.∴当0<x<4a2时，h′(x)<0，h(x)在(0,4a2)上单调递减；
当x>4a2时，h′(x)>0，h(x)在(4a2，＋∞)上单调递增．
∴x＝4a2是h(x)在(0，＋∞)上的惟一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点．
∴最小值φ(a)＝h(4a2)＝2a－aln(4a2)＝2a[1－ln (2a)]．
②当a≤0时，h′(x)＝x－2a2x>0，h(x)在(0，＋∞)上单调递增，无最小值．
故h(x)的最小值φ(a)的解析式为φ(a)＝2a[1－ln (2a)](a>0)．
(3) 对(2)中的φ(a)，证明：当a∈(0，＋∞)时，φ(a)≤1.
(3)证明：由(2)知φ(a)＝2a(1－ln 2－ln a)，则φ′(a)＝－2ln (2a)．令φ′(a)＝0，解得a＝12.
当0<a<12时，φ′(a)>0，∴φ(a)在(0，12)上单调递增；
当a>12时，φ′(a)<0，∴φ(a)在(12，＋∞)上单调递减．∴φ(a)在a＝12处取得极大值φ(12)＝1.
∵φ(a)在(0，＋∞)上有且只有一个极值点，∴φ(12)＝1也是φ(a)的最大值．
∴当a∈(0，＋∞)时，总有φ(a)≤1.

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