北京市朝阳区2015～2014学年度高三年级第一学期期中统一考试 数学试卷（文史类） 2015．．，．若，则实数的值是 A． B． C．或 D．或或2．命题：对任意，的否定是A．：存在, B．：存在, C．：不存在, D．：对任意，3．执行如图的程序框图，则输出的值等于 A．91 B． 55 C．54 D．304．已知为第二象限角，且，则的值是A． B. C. D. 5．函数是A．奇函数且在上是减函数 B．奇函数且在上是增函数 C．偶函数且在上是减函数 D．偶函数且在上是增函数6．已知平面向量，，，则下列说法中错误的是A．∥ B． C．对同一平面内的任意向量，都存在一对实数，使得 D．向量与向量的夹角为 7．若，则A．B．C．D．8．同时满足以下四个条件的集合记作：（1）所有元素都是正整数；（2）最小元素为1；（3）最大元素为2014；（4）各个元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列．那么中元素的个数是A．B．C．D．中，已知，，则公比的值是 ．10．已知平面向量满足，，，则= .11．函数的最小值是 ．12．在△中，角所对的边分别为，且， ；若,则 ． 13．函数的值域是 ． 14．已知函数（），数列满足，，.则与中，较大的是 ；的大小关系是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期及最小值；（Ⅱ）若为锐角，且，求的值．16．（本小题满分13分）在△中，角所对的边分别为，若，．（Ⅰ）求△的面积；（Ⅱ）若，求的值． 17．（本小题满分13分）已知数列，的通项，满足关系，且数列的前项和．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．18．（本小题满分14分） 已知函数.（Ⅰ）若函数在上求；在上，求的值．19．（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）函数的单调； （Ⅱ）为函数的图象上任意一点，在点处的切线的斜率恒大于，求的取值范围．20．（本小题满分13分）如果项数均为的两个数列满足且集合，则称数列是一对 “项相关数列”．（Ⅰ）设是一对“4项相关数列”，求和的值，并写出一对“项相关数列” ；（Ⅱ）是否存在 “项相关数列” ？若存在，试写出一对；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）对于确定的，若存在 “项相关数列”，试证明符合条件的 “项相关数列”有偶数对．北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期中统一考试 数学试卷答案（文史类） 2015．题号12345678答案CABDBCAB二、填空题：题号91011121314答案（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：15. 解：． （Ⅰ）函数的最小正周期为， 函数的最小值为． ┅┅┅┅┅┅ 7分（Ⅱ）由得． 所以． 又因为，所以， 所以． 所以． ┅┅┅┅┅┅ 13分16. 解：（Ⅰ）因为，所以. 又因为，所以. 因为，所以. ┅┅┅┅┅┅ 7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知.又因为，，所以.所以. ┅┅┅┅┅┅ 13分17. 解：（Ⅰ）当时，；当时，.验证，所以. ┅┅┅┅ 6分（Ⅱ）由，得 .因为,所以数列是以为首项，为公比的等比数列. . ┅┅┅┅┅┅ 13分18.解：在上至少有一个实数根.所以，解得. ┅┅┅┅┅┅ 5分（Ⅱ）函数图象的对称轴是① 当，即时，.解得或.又,所以.② 当，即时，解得.又,所以.综上，或. ┅┅┅┅┅┅ 14分19.解：（Ⅰ） 的定义域为，①当时，令，解得，所以函数在上是增函数； ②当时,令，解得或，所以函数在和上是增函数；③当时,在上恒成立，所以函数在是增函数；④当时,令，解得或，所以函数在和上是增函数.综上所述，①当时，函数的单调递增区间是；②当时，函数的单调递增区间是和；③当时，函数的单调递增区间是；④当时，函数的单调递增区间是和. ┅┅┅┅┅┅7分（Ⅱ）在点处的切线的斜率大于，所以当时，恒成立.即当时，恒成立.方法1：设，函数的对称轴方程为.（?）当时，在时恒成立.(?) 当时，即时，在时，函数成立，则方程 的判别式，解得.(?)当时，即时，在上为增函数，的取值范围是，则在时，函数不恒成立.综上所述，时，在函数的图象上任意一点处的切线的斜率恒大于. 方法2：由在时恒成立，得时，.（?）当时，恒成立；（?）当时，上式等价于，，由于此时为减函数，的取值范围是，只需；（?）当时，上式等价于，设，则 ，当时，（当且仅当时等号成立）.则此时.则在上，当时，在函数的图象上任意一点处的切线的斜率恒大于. ┅┅┅┅┅ 14分20．，相加得，，又，则，.“4项相关数列”：8，4，6，5；：7，2，3，1（不唯一） ┅┅┅ 4分参考：（“4项相关数列”共6对： ：8，5，4，6；：7，3，1，2或：7，3，5，8；：6，1，2，4或：3，8，7，5；：2，6，4，1或：2，7，6，8；：1，5，3，4或：2，6，8，7；：1，4，5，3 或：8，4，6，5；：7，2，3，1 （Ⅱ）不存在．理由如下：假设存在 “10项相关数列”，则，相加得．又由已知，所以 ，显然不可能，所以假设不成立．从而不存在 “10项相关数列”． ┅┅┅┅┅┅ 8分（Ⅲ）对于确定的，任取一对 “项相关数列”，令，，（先证也必为 “项相关数列”）因为又因为，很显然有，所以也必为 “项相关数列”．（再证数列与是不同的数列）假设与相同，则的第二项，又，则，即，显然矛盾．从而，符合条件的 “项相关数列”有偶数对． ┅┅┅┅┅┅ 13分T=T+i2否i=i+1是i>5?结束缚T=0,i=1开 始输出T北京市朝阳区2015届高三上学期期中考试数学（文）试题及答案
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