2013届高三数学章末综合测试题（20）
计数原理、概率、随机变量及其分布

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的)
1．在1,2,3,4,5这5个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有(　　)
A．36个　　B．24个　　
C．18个　　D．6个
　解析　B　各位数字之和为奇数必须3个数字都是奇数或两个偶数1个奇数，前者有A33＝6个，后者有C13•A33＝18个，共24个．
2．在x＋13x24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有(　　)
A．3项 B．4项
C．5项 D．6项
　解析　C　Tr＋1＝Cr24(x)24－r13xr＝Cr24x12－56r，当r＝0,6,12,18,24时，x的幂指数为整数，共5项，故选C.
3．商场在 国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为(　　)

A．6万元 B．8万元
C．10万元 D．12万元
　
解析　C　设11时至12时销售额为x万元，由直方图，得0.10.4＝2.5x，∴x＝10.
4．在二项式x2－1x5的展开式中，含x4的项的系数是(　　)
A．－10 B．10
C．－5 D．5
　解析　B　对于Tr＋1＝Cr5(x2)5－r－1xr＝(－1)rCr5x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2，则含x4的项的系数是C25(－1)2＝10.
5．在四次独立重复试验中事件出现的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为6581，则事件A在一次试验中出现的概率为 (　　)
A.13 B.35
C.34 D.56
　解析　A　由题意1－(1－p)4＝6581，p＝13.
6．已知某批的个体强度X服从正态分布N(200,182)，现从中任取一件，则取得的这件的强度高于182但不高于218的概率为(　　)
(参考数据：P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ<X≤ μ＋3σ)＝0.997 4)
A．0.997 3 B．0.682 6
C．0.841 3 D．0.815 9
　解析　B　P(200－18<X≤200＋18)＝0.682 6.
7．从4名男生3名女生中选出3人，分别从事3项不同的工作，若这3人中至少有一名女生，则选派方案共有(　　)
A．108种 B．186种
C．216种 D．270种
　解析　B　不受限制的选法有A37＝210种，其中全为男生的选法有A34＝24种，故3人中至少有一名女生的选派方案有210－24＝186种．
8．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”从五 种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是(　　)
A.310 B.25
C.12 D.35
　解析　C　基本事件为：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，∴n＝10，不相克的事件数为＝10－5＝5，∴n＝510＝12.
9．已知C7n＝C711＋C11，则，n的值为(　　)
A．＝7，n＝12 B．＝7，n＝11
C．＝6，n＝11 D．＝6，n＝12
　解析　D　∵Cn＋C－1n＝Cn＋1，∴n＝12，＝6.
10．10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽两张．则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率为(　　)
A.27 B.29
C.310 D.15
　解析　B　设第一次抽到中奖券为事件A，第二次抽到中奖券记为事件B， 则两次 都
抽到中奖券为事件AB.则P(A)＝310；P(AB)＝3×210×9＝115；P(BA)＝PABPA＝115310＝29.
11．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(　　)
A．85 B．56
C．49 D．28
　解析　C　由条件 可分为两类：一类是甲乙两人只去一个，其选法有C12•C27＝42种；另一类是甲乙都去，其选法有C22•C17＝7种，所以共有42＋7＝49种选法．
12．选择薪水高的职业是人之常情，假如张伟和李强两人大学毕业有甲、乙两个公司可供选择，现从甲、乙两个公司分别随机抽取了50名员工的月工资资料，统计如下：

甲公司
最大值2 500
最小值800
极差1 700
众数1 200
中位数1 200
平均数1 320
标准差433.128 2
　　　
乙公司
最大值20 000
最小值700
极差19 300
众数1 00 0
中位数1 000
平均数1 000
标准差2 906.217

根据以上的统计信息 ，若张伟想找一个工资比较稳定的工作，而李强想找一个有挑 战性的工作，则他俩分别选择的公司是(　　)
A．甲、乙 B．乙、甲
C．都选择甲 D．都选择乙
　解析　A　由表中的信息可知，甲公司的工资标准差远小于乙公司的工资标准差，这表示甲公司的工资比较稳定，张伟想找一个工资比较稳定的工作，会选择甲公司；而乙公司的工资最大值和极差远大于甲公司的工资最大值和极差，李强想找一个有挑战性的工作，会选择乙公司．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．在(1＋x)3＋(1＋x)3＋(1＋3x)3的展开式中，x的系数为________(用数字作答)．
　解析　易知(1＋x)3，(1＋x)3，(1＋3x)3展开式中x的系数分别是C13，C23，C33，即
所求系数是3＋3＋1＝7.
【答案】　7
14．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．
　解析　数0向上的概率为36＝12，数1向上的概率为26＝13，数2向上的概率为16，设向
上的数字之积为ξ，ξ＝0,1,2,4，
P(ξ＝0)＝12×12＋12×13＋12×16＋13×12＋16×12＝34；
P(ξ＝1)＝13×13＝19； P(ξ＝2)＝13×16＋16×13＝19；
P(ξ＝4)＝16×16＝136. ∴Eξ＝34×0＋19×1＋19×2＋136×4＝49.
【答案】　49
15．已知离散型随机变量X的分布列如下表．若EX＝0，DX＝1，则a＝____，b＝____.
X－1012
Pabc112

　解析　由题意得，a＋b＋c＋112＝1，①
∵EX＝0， ∴－1×a＋0×b＋1×c＋2×112＝0，
即－a＋c＋16＝0，② ∵DX＝1，
∴(－1－0)2×a＋(0－0)2×b＋(1－0)2×c＋(2－0)2×112＝1，
即a＋c＝23，③ 联立①②③解得a＝512，b＝14.
【答案】　512　14
16．甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x、y，则满足复数x＋yi的实部大于虚部的概率是________．
　解析　试验结果共有36种情况．当x＝6时，y有5种情况；当x＝5时，y有4种情况；当x＝4时，y有3种情况；当x＝3时，y有2种情况；当x＝2时，y有1种情况．所以P＝5＋4＋3＋2＋136＝512.
【答案】　512
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)(1)在(1＋x)n的展开式中，若第3项与第6项系数相等，则n等于多少？
(2)xx＋13xn的展开式中奇数项的二项式系数之和为128，求展开式中二项式系数最大的项．
　解析　(1)由已知，得C2n＝C5n⇒n＝7.
(2)由已知，得C0n＋C2n＋C4n＋…＝128,2n－1＝128，n＝8，而展开式中二项式系数最大的项是T4＋1＝C48(xx)4•13x4＝70x43x2.
18．(12分)一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．
(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡供自己使用，共有多少种不同的取法？
(2)某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡，供自己今后选择使用，共有多少种不同的取法？
　解析　(1)任取一张手机卡，可以从10张不同的中国移动卡中任取一张，或从12张不同的中国联通卡中任取一张，每一类办法都能完成这件事，故应用分类计数原理，有10＋12＝22(种)取法．
(2)从移动、联通卡中各取一张，则要分两步完成：先从移动卡中任取一张，再从联通卡中任取一张，故应用分步计数原理，有10×12＝120(种)取法．
19．(12分)学校娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，其中会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P(ξ>0)＝710.
(1)求娱队的人数；
(2)写出ξ的概率分布并计算Eξ.
　解析　设既会唱歌又会跳舞的有x人，则娱队共有(7－x)人，那么只会一项的人数是(7－2x)人．
(1)∵P(ξ>0)＝P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝710，
∴P(ξ＝0)＝310，即C27－2xC27－x＝310，
∴7－2x6－2x7－x6－x＝310，∴x＝2.
故娱队共有5人．
(2)P(ξ＝1)＝C12•C13C25＝35，P(ξ＝2)＝C22C25＝110，
ξ的概率分布为：
ξ012
P310
35
110

∴Eξ＝0×310＋1×35＋2×110＝45.
20．(12分)一台机器由于使用时间较长，生产零件有一些会缺损，按不同转速生产出的零件有缺损的统计数据如下表：
转速x(转/秒)1614128
每小时生产缺损零件数y(件)1198 5
(1)作出散点图；
(2)如果y与x线性相关，求出回归直线方程；
(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围？
　解析　(1)根据表中的数据画出散点图，如图：

(2)设回归直线方程为y^＝b^x＋a^，
i1234
xi1614128
yi11985
xiyi1761269640
x＝12.5，y＝8.25，i＝14x2i＝660，i＝14xiyi＝438，
∴b^＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.729，
a^＝8.25－0.729×12.5＝－0.863.
∴y ∧＝0.729x－0.863.
(3)令0.729x－0.863≤10，解得x≤14.9≈15.
故机器的运转 速度应控制在15转/秒内．
21．(12分)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左 、右两边下落的概率都是12.
(1)求小球落入A袋中的概率P(A)；
(2)在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A袋中的小球个数，试求ξ＝3的概率和ξ的数学期望Eξ.
　解析　(1)记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则事件A的对立事件为B，而小球落入B袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故：P(B)＝123＋123＝14，
从而P(A)＝1－P(B)＝1－14＝34.
(2)显然，随机变量ξ～B4，34，
故P(ξ＝3)＝C34×343×14＝2764.
ξ的分布列如下：
ξ01234
P1256
364
27128
2764
81256

∴Eξ＝0×1256＋1×364＋2×27128＋3×2764＋4×81256＝3.

22．(12分)在2012年春运期间，一名大学生要从广州回到济南老家有两种选择，即坐火车或汽车．已知该大学生先去买火车票的概率是先去买汽车票概率的3倍，汽车票随时都能买到．若先去买火车票，则买到火车票的概率为0.6，买不到火车票，再去买汽车票．
(1)求这名大学生先去买火车票的概率；
(2)若火车票的价格为120元，汽车票的价格为280元，设该大学生购买车票所花费钱数为ξ，求ξ的期望值．
　解析　(1)设先去买火车票的概率为P(A)，先去买汽车票的概率为P(B)，]
则由条件可知PA＝3PB，PA＋PB＝1，
解得PA＝0.75，PB＝0.25.
即先去买火车票的概率为0.75.
(2)该大学生首先到火车站且买到火车票的概率为0.75×0.6＝0.45，
∴该大学生买汽车票的概率为1－0.45＝0.55.
设该大学生购买车票所花费钱数为ξ，可得ξ的分布列如下：
ξ 120280
P0.450.55
∴该大学生购买车票所花费钱数的期望值：
Eξ＝120×0.45＋280×0.55＝208.

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