第十五　复　数

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　　1.理解复数的基本概念、复数相等的充要条.
2.了解复数的代数表示法及其几何意义.
3.会进行复数代数形式的四则运算.了解复数的代数形式的加、减运算及其运算的几何意义.
4.了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想，体会理性思维在数系扩充中的作用.　　本重点：1.复数的有关概念；2.复数代数形式的四则运算.
本难点：运用复数的有关概念解题.　　近几年高考对复数的考查无论是试题的难度，还是试题在试卷中所占 比例都是呈下降趋势，常以选择题、填空题形式出现，多为容易题.在复习过程中，应将复数的概念及运算放在首位.

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15.1　复数的概念及其运算

典例精析
题型一　复数的概念
【例1】 (1)如果复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数m＝　　　　　；
(2)在复平面内，复数1＋ii对应的点位于第　　　象限；
(3)复数z＝3i＋1的共轭复数为z＝　　　　　.
【解 析】 (1)(m2＋i)(1＋mi)＝m2－m＋(1＋m3)i是实数⇒1＋m3＝0⇒m＝－1.
(2)因为1＋ii＝i(1＋i)i2＝1－i，所以在复平面内对 应的点为(1，－1)，位于第四象限.
(3)因为z＝1＋3i，所以z＝1－3i.
【点拨】 运算此类 题目需注意复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，并注意复数分为实数、虚数、纯虚数，复数的几何意义，共轭复数等概念.
【变式训练1】(1)如果z＝1－ai1＋ai为纯虚数，则实数a等于(　　)
A.0B.－1C.1D.－1或1
(2)在复平面内，复数z＝1－ii(i是虚数单位)对应的点位于(　　)
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【解析】(1)设z＝xi，x≠0，则
xi＝1－ai1＋ai⇔1＋ax－(a＋x)i＝0⇔ ⇔ 或 故选D.
(2)z＝1－ii＝(1－i)(－i)＝－1－i，该复数对应的点位于第三象限.故选C.
题型二　复数的相等
【例2】(1)已知复数z0＝3＋2i，复数z满足z•z0＝3z＋z0，则复数z＝　　　　　；
(2)已知m1＋i＝1－ni， 其中m，n是实数，i是虚数单位，则m＋ni＝　　　　　；
(3)已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，则这个实根为　　　　　，实数k的值为　　　　.
【解析】(1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，又z0＝3＋2i，
代入z•z0＝3z＋z0得(x＋yi)(3＋2i)＝3(x＋yi)＋3＋2i，
整理得 (2y＋3)＋(2－2x)i＝0，
则由复数相等的条得
解得 所以z＝1－ .
(2)由已知得m＝(1－ni)(1＋i)＝(1＋n)＋(1－n)i.
则由复数相等的条得
所以m＋ni＝2＋i.
(3)设x＝x0是方程的实根， 代入方程并整理得
由复数相等的充要条得
解得 或
所以方程的实根为x＝2或x＝ －2，
相应的k值为k＝－22或k＝22.
【点拨】复数相等须先化为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，再由相等 得实部与实部相等、虚部与虚部相等.
【变式训练2】(1)设i是虚数单位，若1＋2i1＋i＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b的值是(　　)
A.－12B.－2C.2D.12
(2)若(a－2i)i＝b＋i，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝　　　　.
【解析】(1)C.1＋2i1＋i＝(1＋2i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝ 3＋i2，于是a＋b＝32＋12＝2.
(2)3.2＋ai＝b＋i⇒a＝1，b＝ 2.
题 型三　复数的运算
【例3】 (1)若复数z＝－12＋32i， 则1＋z＋z2＋z3＋…＋z2 008＝　　　　　；
(2)设复数z满足z＋z＝2＋i，那么z＝　　　　　.
【解析】 (1)由已知得z2＝－12－32i，z3＝1，z4＝－12＋32i ＝z.
所以zn具有周期性，在一个周期内的和为0，且周期为3.
所以1＋z＋z2＋z3＋…＋z2 008
＝1＋z＋(z2＋z3＋z4)＋…＋(z2 006＋z2 007＋z2 008)
＝1＋z＝12＋32i.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＋yi＋x2＋y2＝2＋i，
所以 解得 所以z＝ ＋i.
【点拨】 解(1)时要注意x3＝1⇔(x－1)(x2＋x＋1)＝0的三个根为1，ω，ω－，
其中ω＝－12＋32i，ω－＝－12－32i， 则
1＋ω＋ω2＝0， 1＋ω－＋ω－2＝0 ，ω3＝1，ω－3＝1，ω•ω－＝1，ω2＝ω－，ω－2＝ω.
解(2)时要注意z∈R，所以须令z＝x ＋yi.
【变式训练3】(1)复数11＋i＋i2等于(　　)
A.1＋i2 B.1－i2C.－12D.12
(2)(2010江西鹰潭)已知复数z＝23－i1＋23i＋(21－i)2 010，则复数z等于(　　)
A.0B.2C.－2iD.2i
【解析】(1 )D.计算容易有11＋i＋i2＝12.
(2)A.
总结提高
复数的代数运算是重点，是每年必考内容之一，复数代数形式的运算：①加减法按合并同类项法则进行；②乘法展开、除法须分母实数化.因此，一些复数问题只需设z＝a＋bi(a，b∈R)代入原式后，就 可以将复数问题化归为实数问题解决.

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