海淀区高三年级第一学期期末练习数学(理科) 2015.01本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.复数等于A. B. C. D.2.设非零实数满足，则下列不等式中一定成立的是A. B. C. D.3.下列极坐标方程表示圆的是A. B. C.D.4.阅读如右图所示的程序框图，如果输入的的值为6，那么运行相应程序，输出的的值为A. 3B. 5C. 10D. 165. 的展开式中的常数项为A. 12 B. C.D. 6.若实数满足条件则的最大值是A. B. C. D.7.已知椭圆:的左、右焦点分别为，椭圆上点满足. 若点是椭圆上的动点，则的最大值为A.B.C.D. 8.如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有A.50种B.51种C.140种D.141种二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。9.已知点是抛物线:的焦点，则_______. 10.在边长为2的正方形中有一个不规则的图形，用随机模拟方法来估计不规则图形的面积.若在正方形中随机产生了个点，落在不规则图形内的点数恰有2000个，则在这次模拟中，不规则图形的面积的估计值为__________.11.圆:（为参数）的圆心坐标为__________；直线:被圆所截得的弦长为__________.12.如图，与圆相切于点，过点作圆的割线交圆于两点，，，则圆的直径等于______________.13. 已知直线过双曲线的左焦点,且与以实轴为直径的圆相切,若直线与双曲线的一条渐近线恰好平行，则该双曲线的离心率是_________.14. 已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如右图所示.（1）若该四棱锥的左视图为直角三角形，则它的体积为__________；（2）关于该四棱锥的下列结论中：①四棱锥中至少有两组侧面互相垂直；②四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形；③四棱锥中不可能存在四组互相垂直的侧面.所有正确结论的序号是___________.三、解答题: 本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。15．（本小题共13分）函数.（Ⅰ）在中，，求的值；（Ⅱ）求函数的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程.16．（本小题共13分）根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示.假设每名队员每次射击相互独立.（Ⅰ）求上图中的值；（Ⅱ）队员甲进行三次射击，求击中目标靶的环数不低于8环的次数的分布列及数学期望（频率当作概率使用）；（Ⅲ）由上图判断，在甲、乙两名队员中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论不需证明）17．（本小题共14分）如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，,是边长为2的等边三角形，,.（Ⅰ）求证：底面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小；（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得∥平面？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由．18.（本小题共13分）已知关于的函数（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）若函数没有零点，求实数取值范围.19.（本小题共14分）已知椭圆:的离心率为，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于点（点在第一象限）.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知为椭圆的左顶点，平行于的直线与椭圆相交于两点.判断直线是否关于直线对称，并说明理由.20.（本小题共13分）若函数满足：集合中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数是等比源函数.（Ⅰ）判断下列函数：①；②；③中，哪些是等比源函数？（不需证明）（Ⅱ）判断函数是否为等比源函数，并证明你的结论；（Ⅲ）证明：，函数都是等比源函数.海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 （理）参考答案及评分标准2015．1阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号12345678答案DDABACBD二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9． 2 10． 11. ；412． 13． 14．；①②③三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由得.因为,-----------------------------------2分， -------------------------------------4分因为在中，，所以，-------------------------------------5分所以,------------------------------------7分所以. -----------------------------------8分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得,所以的最小正周期. -----------------------------------10分因为函数的对称轴为, -----------------------------------11分又由,得,所以的对称轴的方程为.----------------------------------13分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由上图可得, 所以. --------------------------------3分（Ⅱ）由图可得队员甲击中目标靶的环数不低于8环的概率为 ----------------------------------4分由题意可知随机变量的取值为：0,1,2,3. ----------------------------------5分事件“”的含义是在3次射击中，恰有k次击中目标靶的环数不低于8环. ----------------------------------8分即的分布列为0123所以的期望是. ------------------------10分（Ⅲ）甲队员的射击成绩更稳定. ---------------------------------13分17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为底面是菱形，,所以为中点. -------------------------------------1分又因为,所以, ---------------------------------------3分所以底面. ----------------------------------------4分（Ⅱ）由底面是菱形可得,又由（Ⅰ）可知.如图，以为原点建立空间直角坐标系.由是边长为2的等边三角形，，可得.所以.---------------------------------------5分所以,.由已知可得 -----------------------------------------6分设平面的法向量为，则即令，则，所以.----------------------------------------8分因为，----------------------------------------9分所以直线与平面所成角的正弦值为，所以直线与平面所成角的大小为. -----------------------------------------10分（Ⅲ）设，则.---------------------------------11分若使∥平面，需且仅需且平面，---------------------12分解得,----------------------------------------13分所以在线段上存在一点，使得∥平面.此时=. -----------------------------------14分18.（本小题共13分）解：（Ⅰ），. ------------------------------------------2分当时，,的情况如下表：20?极小值?所以，当时，函数的极小值为. -----------------------------------------6分（Ⅱ）.①当时，的情况如下表：20?极小值?--------------------------------7分因为, ------------------------------8分若使函数没有零点，需且仅需，解得,-------------------9分所以此时； -----------------------------------------------10分②当时，的情况如下表：20?极大值? --------11分因为,且,---------------------------12分所以此时函数总存在零点. --------------------------------------------13分综上所述，所求实数的取值范围是. 19.（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意得, ---------------------------------------1分由可得, ------------------------------------------2分所以, -------------------------------------------3分所以椭圆的方程为. ---------------------------------------------4分（Ⅱ）由题意可得点, ------------------------------------------6分所以由题意可设直线,.------------------------------------------7分设，由得.由题意可得,即且. -------------------------8分.-------------------------------------9分因为-----------------------------------10分， ---------------------------------13分所以直线关于直线对称. ---------------------------------14分20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）①②③都是等比源函数. -----------------------------------3分（Ⅱ）函数不是等比源函数. ------------------------------------4分证明如下：假设存在正整数且，使得成等比数列，，整理得，-------------------------5分等式两边同除以得.因为，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数，所以等式不可能成立，所以假设不成立，说明函数不是等比源函数.-----------------------------8分（Ⅲ）法1：因为，都有，所以，数列都是以为首项公差为的等差数列.，成等比数列，因为，，所以，所以，函数都是等比源函数.---------------------------------------北京市海淀区2015届高三上学期期末考试数学理试题（WORD版）
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