江苏省镇江市2015届扬中高级中学高三数学3月调研试卷第Ⅰ卷2015.03. 　　注意事项及说明1．考试前请将密封线内的项目填写清楚。2．本试卷满分160分，考试时间120分钟。3．考试结束时，需交答卷纸。一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置）1．设集合,，,则 ▲ 2．已知是实数，是纯虚数，则等于 ▲ 3．平面向量＝（－1，m），若∥，则m等于 ▲ 4．抛物线的焦点坐标是5．的最小正周期是，则 ▲ ．某学生参加成绩的频率分布直方图如图数据的分组次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15则该班的学生人数是7．阅读上边的程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数的取值范围是 ▲ 8．已知直线和圆，若直线被圆截的弦长为时， 则 ▲ 9． ②；③．10． ▲ 11．若函数的值域为，则＝ ▲ 12．若，则的最小值为 ▲ 13. 若数列{}是正项数列,且…N则…14．在△AOB中，G为△AOB的重心（三角形中三边上中线的交点叫重心），且.若，则的最小值是 ▲ 二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．）15．（本小题满分1分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足. (1) 求角A；(2) 若，，D为BC上一点，且,求AD的长.16．（本小题满分1分）AD∥BC，∠ADC＝，BC＝AD，PA＝PD，Q为AD的中点。（1）求证：AD⊥平面PBQ；（2）已知点M为线段PC的中点，证明：PA∥平面BMQ。17．（本小题满分分）设等差数列{}的前n项和为. (1)若首项公差d=1,求满足的正整数k; (2)求所有的无穷等差数列{},使得对于一切正整数k都有成立. 18．（本小题满分分）．（1）试用表示的面积；（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时的大小．19．（本小题满分分）经过椭圆的一个焦点，且点(0, )到直线l的距离为2（1）求椭圆E的方程；（2)A、B、C是椭圆上的三个动点A与B关于原点对称，且｜AC｜＝｜CB｜．问△ABC的面积是否存在最小值？若存在，求此时点C的坐标；若不存在，说明理由．20．（本小题满分分）.（1）当时，求函数的极值；（2）设定义在D上的函数在点处的切线方程为.当时，若在D内恒成立，则称P为函数的“转点”.当时，试问函数是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由.　　　第Ⅱ卷（理科附加）　 (满分40分，考试时间30分钟)1.已知矩阵的逆矩阵，求矩阵．2.在平面直角坐标系中，过椭圆在第一象限内的一点分别作轴、轴的两条垂线，垂足分别为，求矩形周长最大值时点的坐标．3.如图，正四棱柱中，，，点在棱上，且．( I )求的长； ( II)求钝角二面角的大小．4.某品牌设计了编号依次为的种不同款式的时装，由甲、乙两位模特分别独立地从中随机选择种款式用来拍摄广告．( I )若，且甲在1到为给定的正整数，且号中选择，乙在到号中选择．记Pst为款式（编号）和同时被选中的概率，求所有的Pst的和；( II)求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率．．．（0，1）．；8． ；9．． ；14． 2；二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．）15．（本小题满分1分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足. (1) 求角A；(2) 若，，D为BC上一点，且,求AD的长.解： (1) ∵在△ABC中，满足由正弦定理可得， ┅3分故； ┅5分∵在△ABC中 ∴ ┅7分 (2) 由题意可得， ┅9分 ┅10分∴ ┅13分从而可得 14分16．（本小题满分1分）AD∥BC，∠ADC＝，BC＝AD，PA＝PD，Q为AD的中点。（1）求证：AD⊥平面PBQ；（2）已知点M为线段PC的中点，证明：PA∥平面BMQ。证明：⑴△PAD中，PA=PD，Q为AD中点，∴PQ(AD，底面ABCD中，AD//BC，BC=AD,∴DQ//BC,DQ=BC ∴BCDQ为平行四边形，由(ADC=900，∴(AQB=900，∴AD(BQ 由AD(PQ,AD(BQ,BQ∩PQ=Q,PQ、BQ(面PBQ∴AD(平面PBQ ……………………7分⑵连接CQ,AC∩BQ=N,由AQ//BC,AQ=BC,∴ABCQ为平行四边形，∴N为AC中点，由(PAC中，M、N为PC、AC中点， ∴MN//PA由MN(面BMQ，PA(面BMQ ∴面BMQ‖PA ……………………14分17．（本小题满分分）设等差数列{}的前n项和为. (1)若首项公差d=1,求满足的正整数k; (2)求所有的无穷等差数列{},使得对于一切正整数k都有成立. 【解】 (1)当时. 由得 即. 又k=4. ……………………6分(2)设数列{}的公差为d,则在中分别取k=1,2,得 即 由,得或. )当时,代入,得d=0或d=6. 若则从而Sk??成立?; 若则由知故不符合题意. )当时,代入,得d=0或d=2. 若则从而Sk?成立?; 若则…+从而成立. 综上,共有3个满足条件的无穷数列或或. 18．（本小题满分分）．（1）试用表示的面积；（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时的大小．解：（1）为,∴， …………2分， …………4分,， …………8分（2）令， …………10分只需考虑取到最大值的情况，即为， ………13分 当, 即时, 达到最大 ………14分此时八角形所覆盖面积的最大值为 ． ………15分19．（本小题满分分）经过椭圆的一个焦点，且点(0, )到直线l的距离为2（1）求椭圆E的方程；（2)A、B、C是椭圆上的三个动点A与B关于原点对称，且｜AC｜＝｜CB｜．问△ABC的面积是否存在最小值？若存在，求此时点C的坐标；若不存在，说明理由．20．（本小题满分分）.（1）当时，求函数的极值；（2）设定义在D上的函数在点处的切线方程为.当时，若在D内恒成立，则称P为函数的“转点”.当时，试问函数是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由.解：（I）当时，当，当 ，所以函数在和单调递增，在单调递减，所以当时，函数取到极大值为，当时，函数取到极小值为-2. …………（6分）（II）当时，由函数在其图像上一点处的切线方程，得设且 …………（10分）当时，在上单调递减，所以当时，；当时，在上单调递减，所以当时，；所以在不存在 “转点”. …………（13分）当时，，即在上是增函数.当时，当时，即点为“转点”.故函数存在“转点”，且2是“转点”的横坐标. …………（16分）　　　第Ⅱ卷（理科附加）　　 (满分40分，考试时间30分钟)1.已知矩阵的逆矩阵，求矩阵．解：设，则由得，(5分) 解得所以.(10分)2.在平面直角坐标系中，过椭圆在第一象限内的一点分别作轴、轴的两条垂线，垂足分别为，求矩形周长最大值时点的坐标．解：设（为参数），(4分) 则矩形周长为 (8分) 所以，当时，矩形周长取最大值8， 此时，点.(10分)3.如图，正四棱柱中，，，点在棱上，且．( I )求的长； ( II)求钝角二面角的大小．解：（1）如图，以点为原点，分别为轴 建立空间直角坐标系， 则，，， 设，其中， 因为，所以， 即，得， 此时，即有； （2）4.某品牌设计了编号依次为的种不同款式的时装，由甲、乙两位模特分别独立地从中随机选择种款式用来拍摄广告．( I )若，且甲在1到为给定的正整数，且号中选择，乙在到号中选择．记Pst为款式（编号）和同时被选中的概率，求所有的Pst的和；( II)求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率．解：（1）甲从1到为给定的正整数，且号中任选两款，乙从到号中 任选两款的所有等可能基本事件的种数为，记“款式和同时被选中”为事件B，则事件B包含的基本事件的种数为，所以，则所有的的和为：；(4分)（2）甲从种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为：，同理得，乙从种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为，据分步乘法计数原理得，所有等可能的基本事件的种数为：，记“至少有一个款式为甲和乙共同认可”为事件A，则事件A的对立事件为：“没有一个款式为甲和乙共同认可”，而事件包含的基本事件种数为： ，所以.(10分)！第1页 共15页学优高考网！！（第3题图）H1G1F1E1D1C1B1A1HGFEDBCA（第3题图）H1G1F1E1D1C1B1A1HGFEDBCA江苏省镇江市2015届扬中高级中学高三数学3月调研试卷 数学
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