教案67 数列的综合应用
一、前检测
1．猜想1=1,1-4= - (1+2), 1-4+9=1+2+3,……的第n个式子为 。
答案：

2．用数学归纳法证明 ,在验证 成立时,左边所得的项为( C )
A.1 B.1+ C. D.

二、知识梳理
1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题。
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为 ，年增长率为 ，则每年的产量成等比数列，公比为 .其中第 年产量为 ，且过 年后总产量为：

⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存 元，利息为 ，每月利息按复利计算，则每月的 元过 个月后便成为 元. 因此，第二年年初可存款：
= .
注意：“分期付款”、“森林木材”型应用问题
⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决.
⑵利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金 元,每期利率为 ,则 期后本利和为：
(等差数列问题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款) 元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分 期还清.如果每期利率为 （按复利），那么每期等额还款 元应满足：
(等比数列问题).

⑶分期付款应用题： 为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清； 为年利率.

2.将实际问题转化为数列问题时应注意：
（1）分清是等差数列还是等比数列；
（2）分清是求an还是求Sn，特别要准确地确定项数n.

3.数列与其他知识的综合也是常考的题型，如：数列与函数、不等式、解析几何知识相互联系和渗透，都是常见的题型。

4.强化转化思想、方程思想的应用.

三、典型例题分析
题型1 以等差数列为模型的问题
例1 由于美伊战争的影响，据估计，伊拉克将产生60~100万难民，联合国难民署计划从4月1日起为伊难 *** 送食品.第一天运送1000 t，第二天运送1100 t，以后每天都比前一天多运送100t，直到达到运送食品的最大量，然后再每天递减100 t，连续运送15天，总共运送21300 t，求在第几天达到运送食品的最大量.
剖析：本题实质上是一个等差数列的求通项和求和的问题.
解：设在第n天达到运送食品的最大量.
则前n天每天运送的食品量是首项为1000，公差为100的等差数列.
an=1000+（n－1）•100=100n+900.
其余每天运送的食品量是首项为100n+800，公差为－100的等差数列.
依题意，得
1000n+ ×100+（100n+800）（15－n）+ ×（－100）=21300（1≤n≤15）.
整理化简得n2－31n+198=0.
解得n=9或22（不合题意，舍去）.
答：在第9天达到运送食品的最大量.

变式训练1 数列{an}中，a1＝6，且an－an－1＝an－1n＋n＋1(n∈N*，n≥2)，则这个数列的通项an＝________. 答案：(n＋1)(n＋2)
解：由已知等式得nan＝(n＋1)an－1＋n(n＋1)(n∈N*，n≥2)，则ann＋1－an－1n＝1，所以数列{ann＋1}是以a12＝3为首项，1为公差的等差数列，即ann＋1＝n＋2，则an＝(n＋1)(n＋2)．n＝1时，此式也成立．

小结与拓展：对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题。

题型2 以等比数列为模型的实际问题
例2 （2005年春季上海，20）某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.
（1）分别求2005年底和2006年底的住房面积；
（2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）
剖析：本题实质是一个等比数列的求和问题.
解:（1）2005年底的住房面积为
1200（1+5%）－20=1240（万平方米），
2006年底的住房面积为
1200（1+5%）2－20（1+5%）－20=1282（万平方米），
∴2005年底的住房面积为1240万平方米，2006年底的住房面积为1282万平方米.
（2）2024年底的住房面积为
1200（1+5%）20－20（1+5%）19－20（1+5%）18－…－20（1+5%）－20
=1200（1+5%）20－20×
≈2522.64（万平方米），
∴2024年底的住房面积约为2522.64万平方米.
评述：应用题应先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到实际问题，给出答案.

变式训练2 从2002年1月2日起，每年1月2日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到2008年1月1日将所有存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数为___ _万元.
答案： ［（1+p）7－（1+p）］
解：存款从后向前考虑
（1+p）+（1+p）2+…+（1+p）5
= = ［（1+p）7－（1+p）］.
注：2008年不再存款.
小结与拓展：对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题。

题型3 数列与函数、不等式等问题的综合应用
例3 ()在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N)．
(1)试判断数列{1an}是否为等差数列；(2)设{bn}满足bn＝1an，求数列{bn}的前n项为Sn；
(3)若λan＋1an＋1≥λ，对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．
解：(1)∵a1≠0，∴an≠0，∴由已知可得1an－1an－1＝3(n≥2)，故数列{1an}是等差数列．
(2)由(1)的结论可得bn＝1＋(n－1)×3，所以bn＝3n－2，
∴Sn＝n(1＋3n－2)2＝n(3n－1)2.
(3)将an＝1bn＝13n－2代入λan＋1an＋1≥λ并整理得λ(1－13n－2)≤3n＋1，
∴λ≤(3n＋1)(3n－2)3n－3，原命题等价于该式对任意n≥2的整数恒成立．
设Cn＝(3n＋1)(3n－2)3n－3，则Cn＋1－Cn＝(3n＋1)(3n－4)3n(n－1)>0，故Cn＋1>Cn，
∴Cn的最小值为C2＝283， ∴λ的取值范围是(－∞，283]．

变式训练3 已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都有Sn＝23an－13，若1<Sk<9(k∈N*)，则k的值为________．答案：4
解：∵Sn＝23an－13，∴S1＝23a1－13＝a1，a1＝－1.an＝Sn－Sn－1(n>1)，即an＝(23an－13)－(23an－1－13)＝23an－23an－1，整理得：anan－1＝－2，∴{an}是首项为－1，公比为－2的等比数列，Sk＝a1(1－qk)1－q＝(－2)k－13，∵1<Sk<9，∴1<(－2)k－13<9，即4<(－2)k<28，仅当k＝4时不等式成立．

小结与拓展：数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透.

四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）
1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题. 解应用题的关键是建立数学模型，转化为数学问题，要加强培养转化意识.
2.将实际问题转化为数列问题时应注意：
（1）分清是等差数列还是等比数列；
（2）分清是求an还是求Sn，特别要准确地确定项数n.
3.数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透.
4.强化转化思想、方程思想的应用.

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