第5时　万有引力定律与天体运动
导学目标 1.掌握万有引力定律的内容、公式及适用条.2.学会用万有引力定律解决天体运动问题．

一、开普勒三定律
[基础导引]
开普勒行星运动三定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动．如果一颗人造地球卫星沿椭圆轨道运动，它在离地球最近的位置(近地点)和最远的位置(远地点)，哪点的速度比较大？
[知识梳理]
1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是________，太阳处在椭圆的一个________上．
2．开普勒第二定律：对任意一个行星说，它与太阳的连线在相同的时间内扫过相等的________．
3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的________________的比值都相等，即a3T2＝k.
思考：开普勒第三定律中的k值有什么特点？
二、万有引力定律
[基础导引]
根据万有引力定律和牛顿第二定律说明：为什么不同物体在
地球表面的重力加速度都是相等的？为什么高上的重力加速度比地面的小？
[知识梳理]
1．内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与________________________________成正比，与它们之间____________________成反比．
2．公式
____________，通常取G＝____________ N•m2/kg2，G是比例系数，叫引力常量．
3．适用条
公式适用于________间的相互作用．当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r是__________间的距离；对一个均匀球体与球外一个质点的万有引力的求解也适用，其中r为球心到________间的距离．

考点一　天体产生的重力加速度问题
考点解读
星体表面及其某一高度处的重力加速度的求法：
设天体表面的重力加速度为g，天体半径为R，则mg＝GmR2，即g＝GR2(或G＝gR2)
若物体距星体表面高度为h，则重力mg′＝Gm(R＋h)2，即g′＝G(R＋h)2＝R2(R＋h)2g.
典例剖析
例1　某星球可视为球体，其自转周期为T，在它的两极处，用弹簧秤测得某物体重为P，在它的赤道上，用弹簧秤测得同一物体重为0.9P，则星球的平均密度是多少？
跟踪训练1　1990年5月，紫金天台将他们发现的第2 752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16 km.若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同．已知地球半径R＝6 400 km，地球表面重力加速度为g.这个小行星表面的重力加速度为 (　　)
A．400g B.1400g C．20g D.120g
考点二　天体质量和密度的计算
考点解读
1．利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于GmR2＝mg，故天体质量＝gR2G，天体密度ρ＝V＝43πR3＝3g4πGR.
2．通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T，轨道半径r.
(1)由万有引力等于向心力，即Gmr2＝m4π2T2r，得出中心天体质量＝4π2r3GT2；
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝V＝43πR3＝3πr3GT2R3；
(3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝3πGT2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估测出中心天体的密度．
特别提醒　不考虑天体自转，对任何天体表面都可以认为mg＝GmR2.从而得出G＝gR2(通常称为黄金代换)，其中为该天体的质量，R为该天体的半径，g为相应天体表面的重力加速度．
典例剖析
例2　天学家新发现了太阳系外的一颗行星，这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11 N•m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为 (　　)
A．1.8×103 kg/m3 B．5.6×103 kg/m3
C．1.1×104 kg/m3 D．2.9×104 kg/m3
跟踪训练2　为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国于2011年10月发射了第一颗火星探测器“萤火一号”．假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G.仅利用以上数据，可以计算出 (　　)
A．火星的密度和火星表面的重力加速度
B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力
C．火星的半径和“萤火一号”的质量
D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力

　　　　　　　　　　　　3.双星模型
例3　宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动而不至因万有引力的作用吸引到一起．
(1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比．
(2)设两者的质量分别为m1和m2，两者相距L，试写出它们角速度的表达式．
建模感悟
1．要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力
双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提供．由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小．
2．要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的运动参量的关系
两子星绕着连线上的一点做匀速圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比．
3．要明确两子星做匀速圆周运动的动力学关系
设两子星的质量分别为1和2，相距L，1和2的线速度分别为v1和v2，角速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得：
1：G12L2＝1v21r1＝1r1ω21
2：G12L2＝2v22r2＝2r2ω22
在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径．
跟踪训练3　宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设每个星体的质量均为m.
(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期．
(2)假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？

A组　开普勒定律的应用
1．(2010•新标全国•20)太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道．下列4幅图是用描述这些行星运动所遵从的某一规律的图象．图中坐标系的横轴是lg(T/T0)，纵轴是lg(R/R0)；这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T0和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径．下列4幅图中正确的是 (　　)

2．(2011•安徽•22)(1)开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即a3T2＝k，k是一个对所有行星都相同的常量．将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式．已知引力常量为G，太阳的质量为太．
(2)开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立．经测定月地距离为3.84×108 m，月球绕地球运动的周期为2.36×106 s，试计算地球的质量地．(G＝6.67×10－11 N•m2/kg2，结果保留一位有效数字)

B组　万有引力定律在天体运动中的应用
3．一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上，已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为 (　　)
A. 4π3Gρ B. 34πGρ
C. 3πGρ D. πGρ
4．据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍．一个在地球表面重量为600 N的人在这个行星表面的重量将变为960 N，由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为 (　　)
A．0.5 B．2 C．3.2 D．4
5．宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球．经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L.若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L.已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常量为G.求该星球的质量.

时规范训练
(限时：30分钟)
1．对万有引力定律的表达式F＝Gm1m2r2，下列说法正确的是 (　　)
A．公式中G为常量，没有单位，是人为规定的
B．r趋向于零时，万有引力趋近于无穷大
C．两物体之间的万有引力总是大小相等，与m1、m2是否相等无关
D．两个物体间的万有引力总是大小相等，方向相反的，是一对平衡力
2．最近，科学家通过望远镜看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1 200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍．假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有 (　　)
A．恒星质量与太阳质量之比
B．恒星密度与太阳密度之比
C．行星质量与地球质量之比
D．行星运行速度与地球公转速度之比
3．两个大小相同的实心小铁球紧靠在一起时，它们之间的万有引力为F.若两个半径为实心小铁球半径2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为 (　　)
A．2F B．4F C．8F D．16F
4．如图1所示，A和B两行星绕同一恒星C做圆周运动，旋转方向相
同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，某一时刻两行星相距最
近，则 (　　)
A．经过T1＋T2两行星再次相距最近
B．经过T1T2T2－T1两行星再次相距最近
C．经过T1＋T22两行星相距最远
D．经过T1T2T2－T1两行星相距最远
5．原香港中大学校长、被誉为“光纤之父”的华裔科学家高锟和另外两名美国科学家共同分享了2009年度的诺贝尔物理学奖．早在1996年中国科学院紫金天台就将一颗于1981年12月3日发现的国际编号为“3463”的小行星命名为“高锟星”．假设“高锟星”为均匀的球体，其质量为地球质量的1k，半径为地球半径的1q，则“高锟星”表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的 (　　)
A.qk B.kq C.q2k D.k2q
6．火星的质量和半径分别约为地球的110和12，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为 (　　)
A．0.2g B．0.4g C．2.5g D．5g

图2
7．一物体从一行星表面某高度处自由下落(不计阻力)．自开始下落计时，得到物体离行星表面高度h随时间t变化的图象如图2所示，则根据题设条可以计算出 (　　)
A．行星表面重力加速度的大小
B．行星的质量
C．物体落到行星表面时速度的大小
D．物体受到行星引力的大小
8．(2009•浙江•19)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是 (　　)
A．太阳引力远大于月球引力
B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等
D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
9．如图3所示，P、Q为质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不
同纬度上，如果把地球看成是一个均匀球体，P、Q两质点随地球自
转做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是 (　　)
A．P、Q做圆周运动的向心力大小相等
B．P、Q受地球重力相等
C．P、Q做圆周运动的角速度大小相等
D．P、Q做圆周运动的周期相等
10．根据观察，在土星外层有一个环，为了判断环是土星的连续物还是小卫星群．可测出环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系．下列判断正确的是(　　)
A．若v与R成正比，则环为连续物
B．若v2与R成正比，则环为小卫星群
C．若v与R成反比，则环为连续物
D．若v2与R成反比，则环为小卫星群

复习讲义
基础再现
一、
基础导引　根据开普勒第二定律，卫星在近地点速度较大、在远地点速度较小．
知识梳理　1.椭圆　焦点　2.面积　3.公转周期的二次方
思考：在太阳系中，比例系数k是一个与行星无关的常量，但不是恒量，在不同的星系中，k值不相同，k值与中心天体有关．
该定律不仅适用于行星，也适用于其他天体．如对绕地球飞行的卫星说，它们的k值相同且与卫星无关．
二、
基础导引　根据万有引力定律，在地球表面，对于质量为m的物体有：G地mR2地＝mg，得g＝G地R2地
对于质量不同的物体，得到结果是相同的．
在高上，G地mr2＝mg，高的r较大，所以在高上的自由落体加速度g值就较小．
知识梳理　1.物体的质量m1和m2的乘积　距离r的二次方　2.F＝Gm1m2r2　6.67×10－11　3.质点　两球心　质点
堂探究
例1　30πGT2
跟踪训练1　B　
例2　D　
跟踪训练2　A　
例3　(1)见解析　(2)G(m1＋m2)/L3
解析 (1)证明：两天体绕同一点做匀速圆周运动的角速度ω一定要
相同，它们做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提
供，所以两天体与它们的圆心总是在一条直线上．
设两者的圆心为O点，轨道半径分别为R1和R2，如图所示．对两天体，由万有引力定律可分别列出
Gm1m2L2＝m1ω2R1①
Gm1m2L2＝m2ω2R2②
所以R1R2＝m2m1，所以v1v2＝R1ωR2ω＝R1R2＝m2m1，
即它们的轨道半径、线速度之比都等于质量的反比．
(2)由①②两式相加得Gm1＋m2L2＝ω2(R1＋R2)，因为R1＋R2＝L，所以ω＝ G(m1＋m2)L3.
跟踪训练3　(1) 5Gm4R　4π R35Gm　(2) 3125R
分组训练
1．B　
2．(1)k＝G4π2太　(2)6×1024 kg
3．C　
4．B　
5.23LR23Gt2
时规范训练
1．C　
2．AD　
3．D　
4．B　
5．C　
6．B　
7．AC　
8．AD　
9．CD　
10．AD　

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