教案18 函数的单调性
一、前检测
1. 下列函数 中，满足 “对 ,当 时，都有 ”的是（ B ）
A． B． C． D．

2. 函数 和 的递增区间依次是（ C ）
A． B． C． D．

3. 已知函数 在 内单调递减，则 的取值范围是（ C ）
A． B． C． D．

二、知识梳理
1.函数的单调性：一般地，设函数 的定义域为 ，区间 ，如果对于区间 内的任意两个值 ，当 时都有 ，那么就称函数 在区间 上是单调 ( )函数，区间 称为 的 ( )区间.
解读：

2.判断函数单调性的常用方法：
（1）定义法： （2）图象法： （3）导数法： （4）利用复合函数的单调性：
解读：

3.关于函数单调性还有以下一些常见结论：
①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______；
②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；
③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性；
解读：

4.求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等
解读：

三、典型例题分析
例1 求证： 在 上是增函数.
答案：略

变式训练：对于给定的函数 ，有以下四个结论：
① 的图象关于原点对称；② 在定义域上是增函数；③ 在区间 上为减函数，且在 上为增函数；④ 有最小值2。
其中结论正确的是 . 答案：①③④

小结与拓展：对 “对勾函数”的认识。

例2 已知函数 ．满足对任意的 都有 成立，则 的取值范围是（ A ）
A． B． C． D．

变式训练：已知函数 ,若 则实数 的取值范围是 ．
解析： 在 上是增函数，由题得 ，解得

小结与拓展：判断函数单调性的基本方法是定义法。

例3 （1）函数 的递增区间为___________； 答案：
（2）函数 的递减区间为_________。 答案：

变式训练1：求函数 的单调区间；
答案：递增区间为 ；递减区间为
变式训练2：已知 在[0, 1]上是减函数，则实数 的取值范围是＿＿＿＿。
解：题中隐含a＞0，∴2－ax在［0，1］上是减函数.∴y=logau应为增函数，且u=2－ax在［0，1］上应恒大于零.∴
∴1＜a＜2.

小结与拓展：复合函数单调性按照“同增异减”的法则判定

例4 函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1.?
（1）求证：f(x)是R上的增函数；?
（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.?
解：（1）设x1,x2∈R，且x1＜x2,?
则x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1.
f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0.
∴f（x2）＞f(x1).?
即f(x)是R上的增函数.
（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，?
∴f（2）=3，
∴原不等式可化为f(3m2-m-2)＜f(2),?
∵f(x)是R上的增函数，∴3m2-m-2＜2,
解得-1＜m＜ ,故解集为（-1, ）.
小结与拓展：判断抽象函数单调性的基本方法是定义法，关键是根据条判断 的符号，需要设法构造出 的因式。

变式训练：已知定义在区间 上的函数 满足 ，且当 时， ，
（1）求 的值；（2）判断 的单调性；（3）若 ，解不等式 。
答案：（1）令 可得 ；
（2）任取 且 则 ，
所以， 在区间 上单调递减；
（3）由 ，由 单调递减 ，解的： 或

四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）
1.知识：
2.思想与方法：
3.易错点：
4.反思（不足并查漏）：

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