2013年高考数学总复习 8-6 抛物线但因为测试 新人教B版
1.()(2011•惠州调研)若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆x26＋y22＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
[答案] D
[解析] 椭圆中，a2＝6，b2＝2，∴c＝a2－b2＝2，
∴右焦点(2,0)，由题意知p2＝2，∴p＝4.
(理)(2011•东北三校联考)抛物线y2＝8x的焦点到双曲线x212－y24＝1的渐近线的距离为( )
A．1 B.3
C.33 D.36
[答案] A
[解析] 抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)到双曲线x212－y24＝1的渐近线y＝±33x的距离d＝1.
2．()(2011•陕西，2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是( )
A．y2＝－8x B．y2＝－4x
C．y2＝8x D．y2＝4x
[答案] C
[解析] 由抛物线准线方程为x＝－2知p＝4，且开口向右，∴抛物线方程为y2＝8x.故选C.
(理)(2010•河北许昌调研)过点P(－3,1)且方向向量为a＝(2，－5)的光线经直线y＝－2反射后通过抛物线y2＝x，(≠0)的焦点，则抛物线的方程为( )
A．y2＝－2x B．y2＝－32x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
[答案] D
[解析] 设过P(－3,1)，方向向量为a＝(2，－5)的直线上任一点Q(x，y)，则PQ→∥a，∴x＋32＝y－1－5，∴5x＋2y＋13＝0，此直线关于直线y＝－2对称的直线方程为5x＋2(－4－y)＋13＝0，即5x－2y＋5＝0，此直线过抛物线y2＝x的焦点F4，0，∴＝－4，故选D.
3．()(2011•茂名一模)直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为( )
A．48 B．56
C．64 D．72
[答案] A
[解析] 由题意不妨设A在第一象限，联立y＝x－3和y2＝4x可得A(9,6)，B(1，－2)，而抛物线的准线方程是x＝－1，所以AP＝10，QB＝2，PQ＝8，故S梯形APQB＝12(AP＋QB)•PQ＝48，故选A.
(理)(2011•石家庄模拟)直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋(y－1)2＝1从左到右的交点依次为A、B、C、D，则ABCD的值为( )
A．16 B.116
C．4 D.14
[答案] B
[解析] 由3x－4y＋4＝0，x2＝4y得x2－3x－4＝0，
∴xA＝－1，xD＝4，yA＝14，yD＝4，
∵直线3x－4y＋4＝0恰过抛物线的焦点F(0,1)．
∴AF＝yA＋1＝54，DF＝yD＋1＝5，
∴ABCD＝AF－1DF－1＝116.故选B.
4．(2010•福州市质检)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是( )
A．5 B．8
C.17－1 D.5＋2
[答案] C
[解析] 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，设点P到抛物线的准线距离为d，根据抛物线的定义有d＝PF，∴PQ＋d＝PQ＋PF≥(PC－1)＋PF≥CF－1＝17－1.
5．(2010•福建福州)若抛物线y2＝4x的焦点是F，准线是l，则经过点F、(4,4)且与l相切的圆共有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] C
[解析] 经过F、的圆的圆心在线段F的垂直平分线上，设圆心为C，则CF＝C，又圆C与l相切，所以C到l距离等于CF，从而C在抛物线y2＝4x上．
故圆心为F的垂直平分线与抛物线的交点，显然有两个交点，所以共有两个圆．
6．(2011•湖北，4)将两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则( )
A．n＝0 B．n＝1
C．n＝2 D．n≥3
[答案] C
[解析] 由抛物线的对称性知，在抛物线上的两个顶点关于x轴对称，所以过抛物线焦点F作斜率为33(或斜率为－33)的直线与抛 物线有两个不同交点，它们关于x轴的对称点也在抛物线上，这样可得到两个正三角形．
7．(2010•延边州质检)抛物线的焦点为椭圆x29＋y24＝1的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为______．
[答案] y2＝－45x
[解析] 由c2＝9－4＝5得F(－5，0)，
∴抛物线方程为y2＝－45x.
8．()若点(3, 1)是抛物线y2＝2px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝________.
[答案] 2
[解析] 设弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
则y21＝2px1y22＝2px2，两式相减得，y1－y2x1－x2＝2py1＋y2＝2，
∵y1＋y2＝2，∴p＝2.
(理)已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则AP→•BP→取得最小值时的点P的坐标是______．
[答案] (0,0)
[解析] 设P－y24，y，则AP→＝－y24－2，y，BP→＝－y24－4，y，AP→•BP→＝－y24－2－y24－4＋y2＝y416＋52y2＋8≥8，当且仅当y＝0时取等号，此时点P的坐标为(0,0)．
9．()(2011•湖南六校联考)AB是抛物线y2＝x的一条焦点弦，若AB＝4，则AB的中点到直线x＋12＝0的距离为________．
[答案] 94
[解析] 由题可知AB＝4，所以A、B两点分别到准线x＝－ 14的距离之和为4，所以AB的中点到准线x＝－14的距离为2，所以AB的中点到直线x＝－12的距离为2＋14＝94.
(理)(2011•黑龙江哈六中期末)设抛物线y2＝8x的焦点为F，过点F作直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则AB的长为________．
[答案] 10
[解析] 2p＝8，∴p2＝2，∴E到抛物线准线的距离为5，∴AB＝AF＋BF＝2×5＝10.
10．()(2011•福建，18)如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.
(1)求实数b的值；
(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
[解析] (1)由y＝x＋bx2＝4y
得x2－4x－4b＝0(*)
∵直线l与抛物线相切
∴△＝(－4)2－4×(－4b)＝0 (*)
∴b＝－1
(2)由(1)知b＝－1，方程(*)为x2－4x＋4＝0
解得x＝2，代入x2＝4y中得，y＝1，∴A(2,1)
∵圆A与抛物线准线y＝－1相切
∴r＝1－(－1)＝2.
所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
(理)(2011•韶关月考)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线L：y＝－2相切．
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q ，证明：AQ⊥BQ.
[解析] (1)解：依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，L：y＝－2为准线的抛物线，
因为抛物线焦点到准线距离等于4，
所以圆心的轨迹方程是x2＝8y.
(2)证明：因为直线AB与x轴不垂直，
设AB：y＝kx＋2.A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由y＝kx＋2，y＝18x2，可得x2－8kx－16＝0，
∴x1＋x2＝8k，x1x2＝－16.
抛物线方程为y＝18x2，求导得y′＝14x.
所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1＝14x1，k2＝14x2，
k1k2＝14x1•14x2＝116x1•x2＝－1.
所以AQ⊥BQ.
11.()(2011•温州模拟)已知d为抛物线y＝2px2(p>0)的焦点到准线的距离，则pd等于( )
A.12p2 B．p2
C.12 D.14
[答案] D
[解析] 抛物线方程可化为x2＝12py，
∴d＝14p，则pd＝14，故选D.
(理)(2011•东，9)设(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、F为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )
A．(0,2) B．[0,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
[答案] C
[解析] 设圆的半径为r，因为F(0,2)是圆心，抛物线C的准线方程 y＝－2.圆与准线相切时半径为4.若圆与准线相交则r>4.又因为点(x0，y0)为抛物线x2＝8y上一点，所以有x20＝8y0.又点(x0，y0)在圆x2＋(y－2)2＝r2上．所以x20＋(y0－2)2＝r2>16，所以8y0＋(y0－2)2>16，即有y20＋4y0－12>0，解得y0>2或y0<－6(舍)，
∴y0>2.故选C.
12．()(2010•东)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
[答案] B
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点(x1＋x22，y1＋y22)，∴y1＋y22＝2，y21＝2px1 ①y22＝2px2 ②①－②得y21－y22＝2p(x1－x2)，∴kAB＝y1－y2x1－x2＝2py1＋y2＝p2，
∵kAB＝1，∴p＝2，∴y2＝4x，
∴准线方程为：x＝－1，故选B.
(理)(2011•东济宁一模)已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点(1，)(>0)到其焦点的距离为5，双曲线x2a－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线A平行，则实数a的值是( )
A.125 B.19
C.15 D.13
[答案] B
[解析] 根据抛物线定义可得，抛物线准线方程为x＝－4，则抛物线方程为y2＝16x.
把(1，)代入y2＝16x得＝4，即(1,4)．
在双曲线x2a－y2＝1中，A(－a，0)，则
kA＝41＋a＝1a.
解得a＝19.
13．(2011•台州二检)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于、N两点，有下列四个命题：
①△PN必为直角三角形；②△PN不一定为直角三角形；③直线P必与抛物线相切；④直线P不一定与抛物线相切．其中正确的命题是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
[答案] A
[解析] 因为PF＝F＝NF，故∠FP＝∠FP，∠FPN＝∠FNP，从而可知∠PN＝90 °，故①正确，②错误；令直线P的方程为y＝x＋p2，代入抛物线方程可得y2－2py＋p2＝0，Δ＝0，所以直线P与抛物线相切，故③正确，④错误．
14．(2011•烟台检测)已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升12米后，水面的宽度是________米．
[答案] 43
[解析]
建立平面直角坐标系如图，设开始时水面与抛物线的一个交点为A，由题意可知A(4，－2)，故可求得抛物线的方程为y＝－18x2，设水面上升后交点为B，则点B的纵坐标为－32，代入抛物线方程y＝－18x2可求出B点的横坐标为23，所以水面宽为43米．
15．()已知点A(0，－2)，B(0,4)，动点P(x，y)满足PA→•PB→＝y2－8.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设(1)中所求轨迹与直线y＝x＋2交于C，D两点，求证：OC⊥OD(O为原点)．
[解析] (1)由题意可得
PA→•PB→＝(－x，－2－y)•(－x,4－y)＝y2－8，
化简得x2＝2y.
(2)证明：将y＝x＋2代 入x2＝2y中得，
x2＝2(x＋2)．
整理得x2－2x－4＝0，
可知Δ＝4＋16＝20>0，x1＋x2＝2，x1x2＝－4.
∵y1＝x1＋2，y2＝x2＋2，
∴y1•y2＝(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝4.
∴kOC•kOD＝y1x1•y2x2＝y1y2x1x2＝－1，
∴OC⊥OD.
(理)(2011•淄博模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．
(1)如果直线l过抛物线的焦点，求OA→•OB→的值；
(2)如果OA→•OB→＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．
[解析] (1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，
设l：x＝ty＋1，代入抛物线方程y2＝4x中得，
y2－4ty－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，
∴OA→•OB→＝x1x2＋y1y2
＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2
＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2
＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.
(2)设l：x＝ty＋b代入抛物线方程y2＝4x，消去x得
y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，
∴OA→•OB→＝x1x2＋y1y2
＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2
＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2
＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.
令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，
∴直线l过定点(2,0)．
∴若OA→•OB→＝－4，则直线l必过一定点．
1．(2010•辽宁理)设抛物线y2＝ 8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么PF＝( )
A．43 B．8
C．83 D．16
[答案] B
[解析]
解法1：如上图，kAF＝－3，∴∠AFO＝60°，
∵BF＝4，∴AB＝43，即P点的纵坐标为43，∴(43)2＝8x，∴x＝6，∴PA＝8，
∴PF＝8，故选B.
解法2：设A(－2，y)，∵F(2,0)，∴kAF＝y－4＝ －3，
∴y＝43，∴yp＝43
∵P在抛物线上，∴y2p＝8xp，∴xp＝y2p8＝6
由抛物线定义可得PF＝PA＝xp－xA＝6－(－2)＝8
故选B.
2．双曲线x2－y2n＝1(n≠0)离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则n的值为( )
A.316 B.38
C.163 D.83
[答案] A
[解析] 由条件知＋n＝2＋n＝1，解得＝14n＝34 .
∴n＝316.故选A.
[点评] 解决这类问 题一定要抓准各种曲线的基本量及其关系．
3．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A．2 B．3
C.115 D.3716
[答案] A
[解析] 直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，P到l1的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，
即din＝4－0＋65＝2，故选A.
4．(2011•大连一模)已知抛物线x2＝4y上的动点P在x轴上的射影为点，点A(3,2)，则PA＋P的最小值为________．
[答案] 10－1
[解析] 设d为 点P到准线y＝－1的距离，F为抛物线的焦点，由抛物线定义及数形结合得，PA＋P＝d－1＋PA＝PA＋PF－1≥AF－1＝10－1.
5．(2011•南京调研)已知点是抛物线y2＝4x上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上，则A＋F的最小值为________．
[答案] 4
[解析] 由向抛物线的准线作垂线，垂足为B，则F＝B，圆心C(4,1)，显然当B、、A、C在同一条直线上时，A＋F取最小值，且(A＋F)in＝BC－1＝5－1＝4.
6．(2011•德州模拟)P为双曲线x2－y215＝1右支上一点，、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则P－PN的最大值是________．
[答案] 5
[解析] 两圆的圆心A(－4,0)，B(4,0)恰好为双曲线的焦点，由双曲线的定义知，PA－PB＝2，
∴P－PN≤PA－PB＋2＋1＝5.
7．(2011•中模拟)若椭圆C1：x24＋y2b2＝1(0<b<2)的离心率等于32，抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点在椭圆C1的顶点上．
(1)求抛物线C2的方程；
(2)若过(－1,0)的直线l 与抛物线C2交于E、F两点，又过E、F作抛物线C2的切线l1、l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程．
[解析] (1)已知椭圆的长半轴长为a＝2，半焦距c＝4－b2，
由离心率e＝ca＝4－b22＝32得，b2＝1.
∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，
∴p＝2，抛物线的方程为x2＝4y.
(2)由题知直线l的斜率存在且不为零，则可设直线l的方程为y＝k(x＋1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，
∵y＝14x2，∴y′＝12x，
∴切线l1，l2的斜率分别为12x1，12x2，
当l1⊥l2时，12x1•12x2＝－1，即x1•x2＝－4，
由y＝kx＋1x2＝4y得：x2－4kx－4k＝0，
由Δ＝(－4k)2－4×(－4k)>0，解得k<－1或k>0.
又x1•x2＝－4k＝－4，得k＝1.
∴直线l的方程为y＝x＋1.
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