第三模块 不等式推理与证明综合检测
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2009•广东模拟)已知条p:x≤1,条q:1x<1,则q是非p成立的( )
A.充分不必要条
B.必要不充分条
C.充要条
D.既不充分也不必要条
解析:由1x<1,得x>1或x<0,
∴q:x>1或x<0,而非p:x>1.
∴q是非p的必要不充分条.
答案:B
2.a,b是不相等的正数,则( )
A.a2+b22<ab<a+b2
B.a+b2<ab< a2+b22
C.ab<a+b2< a2+b22
D.ab<a2+b22<a+b2
解析:用特殊值法或分析法可知,C正确.
答案:C
3.下列命题正确的是( )
A.当x>0且x≠1时,lgx+1lgx≥2
B.当x>0时,x+1x≥2
C.当x≥2时,x+1x的最大值为2.
D.当x∈(0,2]时,x-1x无最大值
解析:A错,当0<x<1时,lgx<0;C错,当x=2时,最小值为52;D错,当x=2时,有最大值32.
答案:B
4.设不全等的xi∈(0,+∞)(i=1,2,…,n),则在n个数x1+1x2,x2+1x3,…,xn-1+1xn,xn+1x1中( )
A.都不大于2
B.都不小于2
C.至多有n-1个大于等于2
D.至多有n-1个小于等于2
解析:假设这n个数都不大于2,用反证法会推出矛盾.
答案:D
5.当log2a>1时,不等式x2-(a+2)x+2a>0的解集为( )
A.{xx<a或x>2} B.{xx<2或x>a}
C.{x0<x<2} D.{x2<x<a}
解析:∵log2a>1,∴a>2,x2-(a+2)x+2a>0,⇔(x-a)(x-2)>0,∴x<2或x>a.
答案:B
6.如果f(x)=mx2+(m-1)x+1在区间(-∞,1]上是减函数,则m的取值范围是( )
A.(0,13] B.[0,13)
C.[0,13] D.(0,13)
解析:当m=0时,f(x)=-x+1,适合题意.
当m≠0时,若f(x)在(-∞,1)上为减函数.
则 ⇒0<m≤13.
综上知0≤m≤13.
答案:C
7.若不等式x2+ax+b<0的解集为{x1<x<2},则不等式x2+ax+bx2-5x-6>0的解集为( )
A.{xx<-1或1<x<2或x>6}
B.{xx<-1或2<x<6}
C.{xx<-1或x>6}
D.{x-1<x<2}
解析:方程x2+ax+b=0的两根为1和2,
方程x2-5x-6=0的两根为-1和6.
如图所示:
不等式的解集为{xx<-1或1<x<2或x>6}
答案:A
8.(2009•北京海淀)在直角坐标系由不等式组 所表示的平面区域(用阴影表示)是( )
解析:验证点(0,1)在区域内,知A、D不对,再取点(0,-1)不在区域内,知B不对.
答案:C
9.(2009•广东广州)在平面内有n(n∈N*,n≥3)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,若这n条直线把平面分成f(n)个平面区域,则f(6)等于( )
A.19 B.22C.24 D.32
解析:f(3)=7,f(4)=7+4=11,f(5)=11+5=16,f(6)=16+6=22.
答案:B
10.m=a+a+5,n=a+2+a+3,a≥0,则有( )
A.m<n B.m=n
C.m>n D.m,n大小不确定
解析:∵a≥0,∴m>0,n>0.
又m2=2a+5+2a2+5a,
n2=2a+5+2a2+5a+6,
∵a2+5a<a2+5a+6,
∴m2<n2,∴m<n.
答案:A
11.若x,y∈R,且2x2+y2=6x,则x2+y2+2x的最大值为( )
A.14 B.15C.16 D.17
解析:∵2x2+y2=6x,
∴y2=6x-2x2=2x(3-x)≥0,
∴0≤x≤3.
∴x2+y2+2x=x2+6x-2x2+2x=-x2+8x
=-(x-4)2+16.
∴当x=3时,有最大值15.
答案:B
12.平面内平行于同一直线的两条直线平行,由类比推理可以得到( )
A.空间中平行同一直线的两直线平行
B.空间中平行于同一平面的两直线平行
C.空间中平行同一直线的两平面平行
D.空间中平行于同一平面的两平面平行
解析:平面与空间、直线与平面类比.
答案:D
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.
13.(2009•广东模拟)用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板.随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力会越越大,使得每次钉入木板的钉子长度为前一次的1k(k∈N*).已知一个铁钉受击3次后全部进入木板,且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47,请从这实事中提炼出一个不等式组是________.
答案:
14.(2009•临沂模拟)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x2<x<4},则不等式cx2+bx+a<0的解集为____.
解析:由题意: ⇒
∴cx2+bx+a<0可化为x2+bcx+ac>0,即x2-34x+18>0,
解得{xx>12或x<14}.
答案:{xx>12或x<14}.
15.(2009•北京高考)若实数x,y满足 ,则s=y-x的最小值为________.
解析:画出可行域,如图所示.
由题知,点(x,y)落在右图三角形ABC区域内(包括边界),C(4,-2),当直线s=y-x过点C时,s最小,最小值为-6.
答案:-6
16.(2009•江苏调研)已知0<a1<a2,0<b1<b2,且a1+a2=b1+b2,a1≠b1,则关于三个数:a1b1+a2b2;a1b2+a2b1;a1a2+b1b2的大小关系说法如下:
①a1b1+a2b2最大;②a1b2+a2b1最小;③a1a2+b1b2最小;④a1b2+a2b1与a1a2+b1b2大小不能确定,其中正确的有________(将你认为正确说法前面的序号填上).
解析:∵(a1b1+a2b2)-(a1b2+a2b1)=(a1-a2)(b1-b2)>0,
∴a1b1+a2b2>a1b2+a2b1.
∵(a1b2+a2b1)-(a1a2+b1b2)
=(a1-b1)(b2-a2)=(a1-b1)2>0,
∴a1b2+a2b1>a1a2+b1b2.
答案:①③
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)设a>b>0,分别用分析法、综合法证明:
a2-b2a2+b2>a-ba+b.
证明:(分析法)要证a2-b2a2+b2>a-ba+b,∵a>b>0,∴只要证a+ba2+b2>1a+b,
即证(a+b)2>a2+b2,
即证2ab>0.
该不等式显然成立,故原不等式成立.
(综合法)∵a>b>0,∴2ab>0.
∴a2+b2+2ab>a2+b2,
∴(a+b)2>a2+b2,
∴a+ba2+b2>1a+b
又a-b>0,
∴a2-b2a2+b2>a-ba+b.
18.(12分)对于a>b>0,请依据a2+b2>ab+ab;a3+b3>a2b+ab2;a4+b4>a3b+ab3归纳出an+bn(n为正整数)满足的不等式,并给予证明.
解:由已知可归纳出an+bn>an-1b+abn-1.
证明如下:∵a>b>0,∴a-b>0,an-1-bn-1>0
∴an+bn-(an-1b+abn-1)
=an-1(a-b)+bn-1(b-a)
=(a-b)(an-1-bn-1)>0.
∴an+bn>an-1b+abn-1(n为正整数).
19.(12分)已知a>1,命题p:a(x-2)+1>0,命题q:(x-1)2>a(x-2)+1,若命题p与q同时成立,求x的取值范围.
解:依题意得 ,
∵a>1,∴ .
①当1<a<2时,则有 ,
而a-(2-1a)=a+1a-2>0,
∴a>2-1a,∴2-1a<x<a或x>2.
②当a=2时,则x>32且x≠2.
③当a>2时,则 .
∴x>a,或2-1a<x<2.
综上知,当1<a<2时,x的取值范围是
(2-1a,a)∪(2,+∞);当a=2时,x的取值范围是(32,2)∪(2,+∞);当a>2时,x的取值范围是(2-1a,2)∪(a,+∞).
20.(12分)一种计算装置,有一个数据入口A和一个运算出口B,按照某个运算程序:①当从A口输入自然数1时,从B口得到13,记为f(1)=13;②当从A口输入自然数n(n≥2)时,在B口得到的结果f(n)是前一个结果f(n-1)的2(n-1)-12(n-1)+3倍.
试问:当从A口分别自然数2,3,4时,从B口分别得到什么数?试猜想f(n)的关系式.
解:由已知得f(n)=2n-32n+1f(n-1)(n≥2,n∈N*).
当n=2时,f(2)=4-34+1f(1)=15×13=115,
同理可求得f(3)=135,f(4)=163,
猜想f(n)=1(2n-1)(2n+1).
21.(12分)某个体户经销A、B两种商品,据调查统计,当投资额为x(x≥0)万元时,经销A、B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元,其中f(x)=x+1;
g(x)= ,如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品,请帮他制定一个资金投入方案,使他能获得最大收益,并求出其最大收益.
解:设投入B商品的资金为x万元(0≤x≤5),则投A商品的资金为5-x万元,并设所获得的收入为S(x)万元.
(1)当0≤x≤3时,f(x)=6-x,
g(x)=10x+1x+1,S(x)=6-x+10x+1x+1
=17-[(x+1)+9x+1]≤17-6=11,
当且仅当x+1=9x+1,即x=2时取“=”号.
(2)当3<x≤5时,f(x)=6-x,
g(x)=-x2+9x-12.
S(x)=6-x-x2+9x-12
=-x2+8x-6=-(x-4)2+10≤10,此时x=4.
∵10<11,∴最大收益为11万元.
答:该个体户可对A商品投入3万元,对B商品投入2万元,这样可以获得11万元的最大收益.
22.(12分)解关于x的不等式kx2+(2k-1)x+k-2<0.
解:(1)当k=0时,不等式的解集为{xx>-2}.
(2)当k>0时,Δ=4k+1>0,不等式的解集为
{x1-2k-4k+12k<x<1-2k+4k+12k}
(3)当k<0时,Δ=4k+1,不等式可化为-kx2+(1-2k)x+2-k>0.
① ,即-14<k<0时,不等式的解集为
{xx>1-2k-4k+12k或x<1-2k+4k+12k}
② ,即k=-14时,不等式的解集为{xx≠-3,x∈R}
③ 即k<-14时,不等式的解集为R.
综上所述:k=0时,解集为(-2,+∞);
k>0时,解集为(1-2k-4k+12k,1-2k+4k+12k);
-14<k<0时,解集为(-∞,1-2k+4k+12k)∪(1-2k-4k+12k,+∞);k=-14时,解集为
(-∞,-3)∪(-3,+∞);k<-14时,解集为R.
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