汕头市金中学2012-2013学年度第一学期期中考试
高三理科数学 试题卷
本试题分第Ⅰ卷（）和第Ⅱ卷（非）两部分，满分150分，时间120分钟.
第Ⅰ卷 （选择题 共40分）
一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1． 等于（ ）
A． B． C． D．
2．设 , 那么“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知单位向量 满足 ，则 夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数 ，且此函数的图象如图所示，则点 的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数 的图象大致是（ ）
6．已知 满足线性约束条件 ，若 ， ，则 的最大值是（ ）
A. B. C. D.
7．若函数 的零点与函数 的零点之差的绝对值不超过 ，则 可以是（ ）
A. B. C. D.
8．对于下列命题：①在△ABC中，若 ，则△ABC为等腰三角形；②已知a，b，c是△ABC的三边长，若 ， ， ，则△ABC有两组解；③设 ， ， ,则 ；④将函数 图象向左平移 个单位，得到函数 图象。其中正确命题的个数是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）
二、题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分.) ks5u
9．已知向量 ， ， ．若 为实数， ，则 。
10．设 的最大值为16，则 。
11．已知 ， ，则 。
12．在△ 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 ， ， ，则 。
13．若关于 的不等式 存在实数解，则实数 的取值范围是 。
14．函数 .给出函数 下列性质：①函数的定义域和值域均为 ；②函数的图像关于原点成中心对称；③函数在定义域上单调递增；④ （其中 为函数的定义域）；⑤ 、 为函数 图象上任意不同两点，则 。请写出所有关于函数 性质正确描述的序号 。
三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出字说明，证明过程或演算步骤.）
15．（本小题满分12分）已知集合 ， .
（Ⅰ）求集合 和集合 ；（Ⅱ）若 ，求 的取值范围。
16．（本小题满分12分）在直角坐标系中，已知 ， ， 为坐标原点， ， ．（Ⅰ）求 的对称中心的坐标及其在区间 上的单调递减区间；
（Ⅱ）若 ， ，求 的值。
17．（本小题满分14分）已知函数 ，
（Ⅰ）求函数 的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）设 的内角 的对边分别 且 , ，若 ,求 的值．
18．（本小题满分14分）已知函数 ，
（Ⅰ）若 ，求 的单调区间；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，对 ，都有 ，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）若 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，求实数 的取值范围。
19．（本小题满分14分）
如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池 的池底水平铺设污水净化管道 ， 是直角顶点）处理污水，管道越短，铺设管道的成本越低.设计要求管道的接口 是 的中点， 分别落在线段 上。已知 米， 米，记 。
（Ⅰ）试将污水净化管道的长度 表示为 的函数，并写出定义域；
（Ⅱ）若 ，求此时管道的长度 ；
（Ⅲ）问：当 取何值时，铺设管道的成本最低？并求出此时管道的长度。
20．（本小题满分14分）
已知函数 的单调递增区间为 ，
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）当 取最小值时，点 是函数 图象上的两点，若存在 使得 ，求证：
汕头市金中学2012-2013学年度第一学期期中考试
高三理科数学 参考答案
一、选择题（40分）
题号12345678
答案DACADBCC
二、题（30分）
9． 10． 11． 12． 13． 14．②④
三、解答题（80分）
15．解：（Ⅰ）由 ，得 ，即 …………………3分
由 或 ，
即 ………………………………………………………………………6分
（Ⅱ） ，
的取值范围是 …………………………………………………………………12分
16．解： ， ，
则 …………………………………2分
……………………………………………………4分
（Ⅰ）由 ，即 对称中心是
当 时 单调递减，即
的单调递减是 ………………………………………6分
在区间 上的单调递减区间为 .………………………………………8分
(Ⅱ)
……………………………………10分
。…………………………………………………12分
17．解：（Ⅰ） …………………………2分
则 的最大值为0，最小正周期是 ……………………………………………4分
（Ⅱ） 则
……………………………………………………………………………6分
由正弦定理得 ①……………………………9分
由余弦定理得
即 ②……………………………………………………………………………12分
由①②解得 ， …………………………………………………………………14分
18．解：（Ⅰ） 定义域为
当 时， ， ，令 得 或 （舍）
（0，2）2
-0+
??
∴ 的递减区间为（0，2），递增区间为 …………………………………………4分
（Ⅱ）∵ 都有 成立
∴ ………………………………………………………………………………5分
由（Ⅰ）知
， ……………………………………………7分
∴ ，∴ ……………………………………………………………………8分
（Ⅲ） …………………………………9分
由条件知 恰为 的两个不相等正根，
即 恰有两个不相等正根，……………………………………………10分
对于方程 显然 是方程的一个解，……………………………11分
当 时， ( 且 )
当 时，
当 时， …………………………………………………………………13分
∴ 且 ……………………………………………………………14分
19．解：（Ⅰ） ， ，
由于 ， ， ， 。……3分
所以 ， ………………………………………………5分
（Ⅱ） 时， ， ；…………………………10分
（Ⅲ） = ，设 ,
则 ，由于 ，
所以 ， 在 内单调递减，
于是当 时 . 的最小值 米……………………………………………13分
答：当 时，所铺设管道的成本最低，此时管道的长度为 米………………14分
20．解：（Ⅰ） ……………………………………………………………2分
依题意 是方程 的两根有： ………………………………4分
……………6分
（Ⅱ）
取最小值时， ，……………………………………………………7分
在 上是增函数， ，
，从而 ………………………………………………8分
即
…………………………10分
考虑函数 ，因 ，故当 时，有 ，
所以 是 上是减函数.
由 ，得 …………………………………12分
由 及 得
故 ,即 .
…………………………………………………………………………14分
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