2013年高考数学总复习 6-4 数列的综合问题与数列的应用但因为测试 新人教B版

1.()(2011•德州模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且4a1、2a2、a3成等差数列，则S4＝(　　)
A．7　　　　B．8　　　　
C．15　　　　D．16
[答案]　C
[解析]　∵4a1,2a2，a3成等差数列，
∴4a2＝4a1＋a3，
∵{an}是等比数列，a1＝1，
∴4q＝4＋q2，解之得，q＝2，
∴S4＝1×24－12－1＝15.
(理)(2011•丹东模拟)已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，其公比q≠1，且bi>0(i＝1,2，…，n)，若a1＝b1，a11＝b11，则(　　)
A．a6>b6　　　 B．a6＝b6
C．a6<b6 D．a6>b6或a6<b6
[答案]　A
[解析]　由条件知，a6＝a1＋a112＝b1＋b112>b1b11＝b6.
2．(2011•淄博模拟)已知{an}是递增 数列，且对任意 n∈N*都有an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是(　　)
A．(－72，＋∞) B．(0，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－3，＋∞)
[答案]　C
[解析]　an＝n2＋λn＝(n＋λ2)2－λ24，
∵对任意n∈N*，an＋1>an，
∴－λ2≤1，∴λ≥－2，故选C.
3．()(2011•福建质检)在各项均为正数的等比数列{an}中，a3a5＝ 4，则数列{log2an}的前7项和等于(　　)
A．7 B．8
C．27 D．28
[答案]　A
[解析]　在各项均为正数的等比数列{an}中，由a3a5＝4，得a24＝4，a4＝2.
设bn＝log2an，则数列{bn}是等差数列，且b4＝log2a4＝1.
所以{bn}的前7项和S7＝7b1＋b72＝7b4＝7.
(理)设函数f(x)＝x＋ax的导函数f ′(x)＝2x＋1，则数列{1fn}(n∈N*)的前n项和是(　　)
A.nn＋1 B.n＋2n＋1
C.nn－1 D.n＋1n
[答案]　A
[解析]　f ′(x)＝x－1＋a＝2x＋1，∴a＝1，＝2，
∴f(x)＝x(x＋1)，1fn＝1nn＋1＝1n－1n＋1，
∴Sn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝nn＋1.
4．()(2011•西运城教学检测)已知数列{an}的前n项和为Sn，过点P(n，Sn)和Q(n＋1，Sn＋1)(n∈N*)的直线的斜率为3n－2，则a2＋a4＋a5＋a9的值等于(　　)
A．52 B．40
C．26 D．20
[答案]　B
[解析]　由题意得Sn＋1－Snn＋1－n＝3n－2，∴Sn＋1－Sn＝3n－2，即an＋1＝3n－2，∴an＝3n－5，因此数列{an}是等差 数列，a5＝10，而a2＋a4＋a5＋a9＝2(a3＋a7)＝4a5＝40，故选B.
(理)两个正数a、b的等差中项是72，一个等比中项是23，且a<b，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率e等于(　　)
A.34 B.152
C.54 D.53
[答案]　D
[解析]　∵a＋b＝7，a•b＝12，b>a>0，
∴a＝3，b＝4.∴e＝ca＝a2＋b2a＝53.
5．(2011•江西新余四中期末)在△ABC中，sinAcosA＝2cosC＋cosA2sinC－sinA是角A、B、C成等差数列的(　　)
A．充分非必要条件 B．充要条件
C． 必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　A[:学#科#网]
[解析]　sinAcosA＝2cosC＋cosA2sinC－sinA⇒2sinAsinC－sin2A＝2cosAcosC＋cos2A⇒2cos(A＋C)＋1＝0⇒cosB＝12⇒B＝π3⇒A＋C＝2B⇒A、B、C成等差数列．但当A、B、C成等差数列时，sinAcosA＝2cosC＋cosA2sinC－sinA不一定成立，如A＝π2、B＝π3、C＝π6.故是充分非必要条件．故选A.
6．()(2011•哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，若S21＝S4000，O为坐标原点，点P(1，an)，点Q(2011，a2011)，则OP→•OQ→＝(　　)
A．2011 B．－2011
C．0 D．1
[答案]　A
[解析]　由S21＝S4000得到Sn关于n＝21＋40002＝2010.5对称，故Sn的最大(或最小)值＝S2010＝S2011 ，故a2011＝0，OP→•OQ→＝2011＋an•a2011＝2011＋an×0＝2011，故选A.
(理)(2011•北京西城期末)已知各项均不为零的数列{an}，定义向量cn＝(an，an＋1)，bn＝(n，n＋1)，n∈N*.则下列命题中为真命题的是(　　)
A．若对于任意n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等差数列
B．若对于任意n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等比数列
C．若对于任意n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等差数列
D．若对于任意n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等比数列
[答案]　A
[解析]　若对任意n∈N*，有cn∥bn，则ann＝an＋1n＋1＝an＋2n＋2，所以an＋1－an＝an＋2－an＋1，即2an＋1＝an＋an＋2，所以数列{an}为等差数列．
7．()(2010•浙江杭州)如图，是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是(　　)

A.12 B.23
C.34 D.45
[答案]　C
[解析]　循环过程为i＝1<4→i＝2，＝1，n＝11×2；
i＝2<4→i＝3，＝2，n＝11×2＋12×3；
i＝3<4→i＝4，＝3，n＝11×2＋12×3＋13×4；
i＝4<4不成立，输出n的值．
故n＝11×2＋12×3＋13×4＝1－12＋12－13＋13－14＝1－14＝34.
(理)(2010•北京延庆县模考)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是(　　)

A．4　　　　B．5　　　　
C．6　　　　D．7
[答案]　D
[解析]　由程序框图可知，S＝1＋2＋22＋…＋2k＝2k＋1－1，由S<100得，2k＋1<101，
∵26＝64,27＝128，∴k＋1＝7，∴k＝6，结合语句k＝k＋1在S＝S＋2k后面知，当k＝6时，S＝127，k的值再增加1后输出k值为7.
[点评]　这是最容易出错的地方，解这类题时，既要考虑等比数列求和，在k取何值时，恰满足S≥100，又要顾及S与k的赋值语句的先后顺序．
8．()(2011•临沂模拟)数列{an}、{bn}都是等差数列，a1＝5，b1＝7，且a20＋b20＝60，则{an＋bn}的前20项和为(　　)
A．700 B．710
C．720 D．730
[答案]　C
[解析]　∵{an}与{bn}均为等差数列，
∴{an＋bn}为等差数列，首项a1＋b1＝12，
又a20＋b20＝60，
∴前20项和为S20＝20×12＋602＝720.
(理)(2010•湖北质检)若数列{an}满足1an＋1－1an＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为调和数列．已知数列{1xn}为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝________.
[答案]　20
[解析]　由题意，若{an}为调和数列，则{1an}为等差数列，∵{1xn}为调和数列，∴数列{xn}为等差数列，由等差数列的性质可知，x5＋x16＝x1＋x20＝x2＋x19＝…＝x10＋x11＝20010＝20.故填20.
9．()(2011•潍坊模拟)已知等比数列中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列{1bnbn＋1}的前n项和Sn＝________.
[答案]　nn＋1
[解析]　∵a4＝a1q3，∴81＝3q3，∴q＝3，
∴an＝3n，∴bn＝log3an＝n，
令cn＝1bnbn＋1，则cn＝1nn＋1＝1n－1n＋1，
∴{cn}的前n项和Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n－1n＋1)＝nn＋1.
(理)(2011•杭州二检)已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中a1＝2，b1＝1，a2＝b2,2a4＝b3，且存在常数α、β，使得an＝logαbn＋β对每一个正整数n都成立，则αβ＝________.
[答案]　4
[解析]　设{an} 的公差为d，{bn}的公比为q，则2＋d＝q22＋3d＝q2，解得q＝2d＝0(舍去)或q＝4d＝2，所以an＝2n，bn＝4n－1.若an＝logαbn＋β对每一个正整数n都成立，则满足2n＝logα4n－1＋β，即2n＝(n－1)logα4＋β，因此只有当α＝2，β＝2时上式恒成立，所以αβ＝4.
10．()(2011•江苏镇江市质检)已知1，x1，x2,7成等差数列，1，y1，y2,8成等比数列，点(x1，y1)，N(x2，y2)，则线段N的中垂线方程是________．
[答案]　x＋y－7＝0
[解析]　由条件得x1＝3，x2＝5，y1＝2，y2＝4，
∴N的中点(4,3)，kN＝1，∴N的中垂线方程为y－3＝－(x－4)，即x＋y－7＝0.
(理)(2010•哈尔滨模拟)已知双曲线an－1y2－anx2＝an－1an(n≥2，n∈N*)的焦点在y轴上，一条渐近线方程是y＝2x，其中数列{an}是以4为首项的正项数列，则数列{an}的通项公式是________．
[答案]　an＝2n＋1
[解析 ]　双曲线方程为y2an－x2an－1＝1，∵焦点在y轴上，又渐近线方程为y＝2x，∴anan－1＝2，
又a1＝4，∴an＝4×2n－1＝2n＋1.

11.在圆x2＋y2＝10x内，过点(5,3)有n条长度成等差数列的弦，最短弦长为数列{an}的首项a1，最长弦长为an，若公差d∈(13，23]，那么n的取值集合为(　　)
A．{4,5,6} B．{6,7,8,9}
C．{3,4,5} D．{3,4,5,6}
[答案]　A
[解析]　∵圆x2＋y2＝10x，∴(x－5)2＋y2＝5，圆心为(5,0)，半径为5.故最长弦长an＝10，最短弦长a1＝8，∴10＝8＋(n－1)d，∴d＝2n－1，
∵d∈(13，23]，∴13<2n－1≤23，∴4≤n<7，
又∵n∈N*，∴n的取值为4,5,6，故选A.
12．()(2011•安徽百校论坛联考)已知a>0，b>0，A为a，b的等差中项，正数G为a，b的等比中项，则ab与AG的大小关系是(　　)
A．ab＝AG B．ab≥AG
C．ab≤AG D．不能确定
[答案]　C
[解析]　由条件知，a＋b＝2A，ab＝G2，∴A＝a＋b2≥ab＝G>0，∴AG≥G2，即AG≥ab，故选C.
[点评]　在知识交汇点处命题是常见命题方式，不等式与数列交汇的题目要特别注意等差(等比)数列的公式及性质的运用．
(理)已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，设P＝12(log0.5a5＋log0.5a7)，Q＝log0.5a3＋a92，P与Q的大小关系是(　　)
A．P≥Q B．P<Q
C．P≤Q D．P>Q
[答案]　D
[解析]　P＝log0.5a5a7＝log0.5a3a9，Q＝log0.5a3＋a92，
∵q≠1，∴a3≠a9，∴a3＋a92>a3a9
又∵y＝log0.5x在(0，＋∞)上递减，
∴log0.5a3＋a92<log0.5a3a9，即Q<P.故选D.
13．()(2011•南昌一模)小王每月除去所有日常开支，大约结余a元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本和息．假设一年期零存整取的月利 率为r，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为_____元．
[答案]　78ar
[解析]　依题意得，小王存款到期利息为12ar＋11ar＋10ar＋…＋3ar＋2ar＋ar＝1212＋12ar＝78ar元．
(理)(2011•湖北荆门调研)秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n　(n∈N*)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人．
[答案]　255
[解析]　∵an＋2－an＝1＋(－1)n　(n∈N*)，∴n为奇数时，an＋2＝an，n为偶数时，an＋2－an＝2，即数列{an}的奇数项为常数列，偶数项构成以2为首项，2为公差的等差数列．
故这30天入院治疗流感人数共有15＋(15×2＋15×142×2)＝255人．
14．()(2011•江苏，13)设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是_____．
[答案]　33
[解析]　∵a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，且a1＝1，
∴a3＝q，a5＝q2，a7＝q3，
∵a2，a4，a6成公差为1的等差数列，
∴a4＝a2＋1，a6＝a2＋2，
∵a2≥1，q＝a3≥a2≥1，
∴q2＝a5≥a4＝a2＋1≥2，q3＝a7≥a6＝a2＋2≥3，
∵q≥1，∴q≥2且q≥33，∴q≥33，
∴q的最小值为33.
(理)(2011•福州市期末、河北冀州期末)已知实数a、b、c、d成等比数列，且函数y＝ln(x＋2)－x当x＝b时取到极大值c，则ad等于________．
[答案]　－1
[分析]　利用导数可求b、c，由a、b、c、d成等比数列可得ad＝bc.
[解析]　y′＝1x＋2－1，令y′＝0得x＝－1，当－2<x<－1时，y′>0，当x>－1时，y′<0，∴b＝－1，c＝ln(－1＋2)－(－1)＝1，∴ad＝bc＝－1.
15．(2011•蚌埠质检)已知数列{an}满足，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋an＋12，n∈N*.
(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式．
[解析]　(1)b1＝a2－a1＝1，当n≥2时，
bn＝an＋1－an＝an－1＋an2－an＝－12(an－an－1)＝－12bn－1，
所以{bn}是以1为首项，－12为公比的等比数列．
(2)由(1)知bn＝an＋1－an＝－12n－1，
当n≥2时，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋1＋－12＋…＋－12n－2＝1＋1－－12n－11－－12
＝1＋231－－12n－2＝53－23－12n－1，
当n＝1时，53－23－121－1＝1＝a1.
所以an＝53－23－12n－1(n∈N*)．
16．()(2011•焦作模拟)已知函数f(x)＝ax的图象过点(1，12)，且点(n－1，ann2)(n∈N＋)在函数f(x)＝ax的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝an＋1－12an，若数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn<5.
[解析]　(1)∵函数f(x)＝ax的图象过点(1，12)，
∴a＝12，f(x)＝(12)x.
又点(n－1，ann2)(n∈N＋)在函数f(x)＝ax的图象上，从而ann2＝12n－1，即an＝n22n－1.
(2)由bn＝n＋122n－n22n＝2n＋12n得，
Sn＝32＋522＋…＋2n＋12n，
则12Sn＝322＋523＋…＋2n－12n＋2n＋12n＋1，
两式相减得：12Sn＝32＋2(122＋123＋…＋12n)－2n＋12n＋1，
∴Sn＝5－2n＋52n，∴Sn<5.
(理)(2011•东，20)等比数列{an}中，a1、a2、a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1、a2、a3中的任何两个数不在下 表的同一列．

第一列第二列第三列
第一行3210
第二行6414
第三行9818
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nlnan，求数列{bn}的前2n项和S2n.
[解析]　(1)依次验证知a1＝2，a2 ＝6，a3＝18时符合题意，∴an＝2•3n－1
(2)∵bn＝an＋(－1)nlnan＝2•3n－1＋(－1)nln(2•3n－1)＝2•3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3
∴S2n＝b1＋b2＋…＋b2n＝2(1＋3＋…＋32n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n](ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n•2n]ln3
＝2×1－32n1－3＋nln3＝32n＋nln3－1.

1．(2011•湖南六校联考)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a5＝19，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线的斜率是(　　)
A．4 B.14
C．－4 D．－14
[答案]　A
[解析]　a1＋4d＝195a1＋5×42d＝55，∴a1＝3d＝4，∴kPQ＝4.
2．在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2,4依次成等差数列，而1，y1，y2,8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是(　　)
A．1　　　　B．2　　　　
C．3　　　　D．4
[答案]　A
[解析]　由条件知x1＝2，x2＝3，y1＝2，y2＝4，∴S＝12×4×3－12×2×2－12(2＋4)×1＝1.
3．数列{an}是公差d≠0的等差数列，数列{bn}是等比数列，若a1＝b1，a3＝b3，a7＝b5，则b11等于(　　)
A．a63 B．a36
C．a31 D．a13
[答案]　A
[解析]　设数列{bn}的首项为b1，公比为q，则
a1＋2d＝a1q2a1＋6d＝a1q4，得d＝a14(q4－q2)．
∴a1＋a12(q4－q2)＝a1q2，
∵q≠1，∴q2＝2，d＝a12，于是b11＝a1q10＝32a1.
设32a1＝a1＋(n－ 1)•a12，则n＝63，∴b11＝a63.
4．(2011•黄冈月考)在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则a3a5的值是(　　)
A.1516 B.158
C.34 D.38
[答案]　C
[解析]　∵a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n，
∴a2a1＝a1＋1，∴a2＝2，；
∵a3a2＝a2－1，∴a3＝12；
∵a4a3＝a3＋1，∴a4＝3；
∵a5a4＝a4－1，∴a5＝23，∴a3a5＝34.
5．等差数列{an}的公差d≠0，且a1、a4、a8成等比数列，则a1＋a4＋a8a2＋a5＋a9＝________.
[答案]　3740
[分析]　此类问题一般依据条件和等差(比)数列的通项(或前n项和)公式列方程求解．解方程时，注意等比数列的首项和公比都不能为0.
[解析]　∵a1、a4、a8成等比数列，∴a24＝a1•a8，
又{an}成等差数列，公差d，
∴(a1＋3d)2＝a1(a1＋7d)，∴a1＝9d≠0，
∴原式＝9d＋12d＋16d10d＋13d＋17d＝37d40d＝3740.
6．(2011•上饶市四校联考)设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为________．
[答案]　－2
[解析]　若q＝1，则由2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2⇒2na1＝(n＋1)a1＋(n＋2)a1⇒2n＝2n＋3矛盾，
∴q≠1，由2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2可得2a11－qn1－q
＝a11－qn＋11－q＋a11－qn＋21－q⇒qn＋2＋qn＋1－2qn＝0
⇒q2＋q－2＝0(∵q≠1)，解得q＝－2.
7．(2011•天津市二十区县联考)已知Sn是数列{an}的前n项和，向量a＝(an－1，－2)，b＝(4，Sn)满足a⊥b，则S5S3＝________.
[答案]　317
[解析]　∵a＝(an－1，－2)，b＝(4，Sn)满足a⊥b，
∴a•b＝0，
∴4an－4－2Sn＝0，即Sn＝2an－2，
∴Sn－1＝2an－1－2(n≥2)．
两式相减得an＝2an－1，∴anan－1＝2.
由Sn＝2an－2(n∈N*)，得a1＝2.
∴{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2n.
∴S5S3＝21－251－221－231－2＝317.
8．(2011•苏州检测)正整数按下列方法分组：{1}，{2,3,4}，{5,6,7,8,9}，{10,11,12,13,14,15,16}，…，记第n组中各数之和为An；由自然数的立方构成下列数组：{03,13}，{13,23}，{23,33}，{33,43}，…，记第n组中后一个数与前一个数的差为Bn，则An＋Bn＝________.
[答案]　2n3
[解析]　由题意知，前n组共有1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2个数，所以第n－1组的最后一个数为(n－1)2，第n组的第一个数为(n－1)2＋1，第n组共有2n－1个数，所以根据等差数列的前n项和公式可得
An＝[n－12＋1]＋[n－12＋2n－1]2(2n－1)＝[(n－1)2＋n](2n－1)，而Bn＝n3－(n－1)3，
所以An＋Bn＝2n3.

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