教案52 向量的平行与垂直
一、前检测
1.已知 ，向量 垂直，则实数 的值为（ B ）
A． B． C． D．

2.已知向量 ，若 ，则 的最小值为（ C ）
A． B． C． D．

二、知识梳理
1.两个向量平行的充要条
向量语言：若 ∥ ， ≠ ，则 =λ
坐标语言：设 =（x1,y1）， =(x2,y2)，则 ∥ (x1,y1)=λ(x2,y2)，即 ，或x1y2-x2y1=0
注：实数λ是唯一存在的，当 与 同向时，λ>0；当 与 异向时，λ<0。
λ= ，λ的大小由 及 的大小确定。因此，当 ， 确定时，λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。
解读：

2.两个向量垂直的充要条
向量语言： ⊥ • =0
坐标语言：设 =(x1,y1), =(x2,y2)，则 ⊥ x1x2+y1y2=0

解读：

三、典型例题分析
例1 已知 ， ， ，按下列条求实数 的值。（1） ；（2） ； 。
解：
（1） ；
（2） ；

。
点评：此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算.

变式训练1 已知向量 =(cos ,sin ), =(cos ,sin ),且 ，那么 与 的夹角的大小是 。

小结与拓展：

例2 （2009广东卷理）已知向量 与 互相垂直，其中 ．
（1）求 和 的值；（2）若 ，求 的值．
解：（1）∵ 与 互相垂直，则 ，即 ，代入 得 ，又 ，
∴ .
（2）∵ ， ，∴ ，
则 ，
变式训练2 （09浙江卷）已知向量 ， ．若向量 满足 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
解：不妨设 ，则 ，对于 ，则有 ；又 ，则有 ，则有

小结与拓展：
例3 （08辽宁卷）在直角坐标系 中，点P到两点 ， 的距离之和等于
4，设点P的轨迹为 ，直线 与C交于A，B两点．
（Ⅰ）写出C的方程； （Ⅱ）若 ，求k的值。
解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以 为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴 ，故曲线C的方程为 ．
（Ⅱ）设 ，其坐标满足
消去y并整理得 ，
故 ．
若 ，即 ．而 ，
于是 ，化简得 ，所以 ．

变式训练3 已知
（1）求 ；
（2）当 为何实数时， 与 平行， 平行时它们是同向还是反向？
解：（1）因为
所以
则
（2） ，
因为 与 平行，所以 即得 。
此时 ， ，则 ，即此时向量 与 方向相反。
点评：上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现，重点掌握平面向量的共线的判定以及平面向量模的计算方法。

小结与拓展：

四、归纳与（以学生为主，师生共同完成）

1.知识：

2.思想与方法：

3.易错点：

4.教学反思（不足并查漏）

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