2.12 函数的综合问题

●知识梳理
函数的综合应用主要体现在以下几方面：
1.函数内容本身的相互综合，如函数概念、性质、图象等方面知识的综合.
2.函数与其他数学知识点的综合，如方程、不等式、数列、解析几何等方面的内容与函数的综合.这是高考主要考查的内容.
3.函数与实际应用问题的综合.
●点击双基
1.已知函数f（x）=lg（2x－b）（b为常数），若x∈［1，+∞）时，f（x）≥0恒成立，则
A.b≤1 B.b＜1 C.b≥1 D.b=1
解析：当x∈［1，+∞）时，f（x）≥0，从而2x－b≥1，即b≤2x－1.而x∈［1，+∞）时，2x－1单调增加，
∴b≤2－1=1.
答案：A
2.若f（x）是R上的减函数，且f（x）的图象经过点A（0，3）和B（3，－1），则不等式f（x+1）－1＜2的解集是___________________.
解析：由f（x+1）－1＜2得－2＜f（x+1）－1＜2，即－1＜f（x+1）＜3.
又f（x）是R上的减函数，且f（x）的图象过点A（0，3），B（3，－1），
∴f（3）＜f（x+1）＜f（0）.
∴0＜x+1＜3，－1＜x＜2.
答案：（－1，2）
●典例剖析
【例1】 取第一象限内的点P1（x1，y1），P2（x2，y2），使1，x1，x2，2依次成等差数列，1，y1，y2，2依次成等比数列，则点P1、P2与射线l:y=x（x＞0）的关系为
A.点P1、P2都在l的上方B.点P1、P2都在l上
C.点P1在l的下方，P2在l的上方D.点P1、P2都在l的下方
剖析：x1= +1= ，x2=1+ = ，y1=1× = ，y2= ，∵y1＜x1，y2＜x2，
∴P1、P2都在l的下方.
答案：D
【例2】 已知f（x）是R上的偶函数，且f（2）=0，g（x）是R上的奇函数，且对于x∈R，都有g（x）=f（x－1），求f（2002）的值.
解：由g（x）=f（x－1），x∈R，得f（x）=g（x+1）.又f（－x）=f（x），g（－x）=－g（x），
故有f（x）=f（－x）=g（－x+1）=－g（x－1）=－f（x－2）=－f（2－x）=－g（3－x）=
g（x－3）=f（x－4），也即f（x+4）=f（x），x∈R.
∴f（x）为周期函数，其周期T=4.
∴f（2002）=f（4×500＋2）＝f（2）=0.
评述：应灵活掌握和运用函数的奇偶性、周期性等性质.
【例3】 函数f（x）= （m＞0），x1、x2∈R，当x1+x2=1时，f（x1）+f（x2）= .
（1）求m的值；
（2）数列{an}，已知an=f（0）+f（ ）+f（ ）+…+f（ ）+f（1），求an.
解：（1）由f（x1）+f（x2）= ，得 + = ，
∴4 +4 +2m= ［4 +m（4 +4 ）+m2］.
∵x1+x2=1，∴（2－m）（4 +4 ）=（m－2）2.
∴4 +4 =2－m或2－m=0.
∵4 +4 ≥2 =2 =4，
而m＞0时2－m＜2，∴4 +4 ≠2－m.
∴m=2.
（2）∵an=f（0）+f（ ）+f（ ）+…+f（ ）+f（1），∴an=f（1）+f（ ）+ f（ ）+…+f（ ）+f（0）.
∴2an=［f（0）+f（1）］+［f（ ）+f（ ）］+…+［f（1）+f（0）］= + +…+ = .
∴an= .
深化拓展
用函数的思想处理方程、不等式、数列等问题是一重要的思想方法.
【例4】 函数f（x）的定义域为R，且对任意x、y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=－2.
（1）证明f（x）是奇函数；
（2）证明f（x）在R上是减函数；
（3）求f（x）在区间［－3，3］上的最大值和最小值.
（1）证明：由f（x+y）=f（x）+f（y），得f［x+（－x）］=f（x）+f（－x），∴f（x）+ f（－x）=f（0）.又f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0.从而有f（x）+f（－x）=0.
∴f（－x）=－f（x）.∴f（x）是奇函数.
（2）证明：任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）=f（x1）－f［x1+（x2－x1）］=f（x1）－［f（x1）+f（x2－x1）］=－f（x2－x1）.由x1＜x2，∴x2－x1＞0.∴f（x2－x1）＜0.
∴－f（x2－x1）＞0，即f（x1）＞f（x2），从而f（x）在R上是减函数.
（3）解：由于f（x）在R上是减函数，故f（x）在［－3，3］上的最大值是f（－3），最小值是f（3）.由f（1）=－2，得f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=3×（－2）=－6，f（－3）=－f（3）=6.从而最大值是6，最小值是－6.
深化拓展
对于任意实数x、y，定义运算x*y=ax+by+cxy，其中a、b、c是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数m，使得对于任意实数x，都有x*m=x，试求m的值.
提示：由1*2=3，2*3=4，得

∴b=2+2c，a=－1－6c.
又由x*m=ax+bm+cmx=x对于任意实数x恒成立，
∴ ∴b=0=2+2c.
∴c=－1.∴（－1－6c）+cm=1.
∴－1+6－m=1.∴m=4.
答案：4.
●闯关训练
夯实基础
1.已知y=f（x）在定义域［1，3］上为单调减函数，值域为［4，7］，若它存在反函数，则反函数在其定义域上
A.单调递减且最大值为7B.单调递增且最大值为7
C.单调递减且最大值为3D.单调递增且最大值为3
解析：互为反函数的两个函数在各自定义区间上有相同的增减性，f－1（x）的值域是［1，3］.
答案：C
2.关于x的方程x2－4x+3－a=0有三个不相等的实数根，则实数a的值是___________________.
解析：作函数y=x2－4x+3的图象，如下图.

由图象知直线y=1与y=x2－4x+3的图象有三个交点，即方程x2－4x+3=1也就是方程x2－4x+3－1=0有三个不相等的实数根，因此a=1.
答案：1
3.若存在常数p＞0，使得函数f（x）满足f（px）=f（px－ ）（x∈R），则f（x）的一个正周期为__________.
解析：由f（px）=f（px－ ），
令px=u，f（u）=f（u－ ）=f［（u+ ）－ ］，∴T= 或 的整数倍.
答案： （或 的整数倍）
4.已知关于x的方程sin2x－2sinx－a=0有实数解，求a的取值范围.
解：a=sin2x－2sinx=（sinx－1）2－1.
∵－1≤sinx≤1，∴0≤（sinx－1）2≤4.
∴a的范围是［－1，3］.
5.记函数f（x）= 的定义域为A，g（x）=lg［（x－a－1）（2a－x）］（a＜1）的定义域为B.
（1）求A；
（2）若B A，求实数a的取值范围.
解：（1）由2－ ≥0，得 ≥0，
∴x＜－1或x≥1，即A=（－∞，－1）∪［1，+∞）.
（2）由（x－a－1）（2a－x）＞0，得（x－a－1）（x－2a）＜0.
∵a＜1，∴a+1＞2a.∴B=（2a，a+1）.
∵B A，∴2a≥1或a+1≤－1，即a≥ 或a≤－2.
而a＜1，∴ ≤a＜1或a≤－2.
故当B A时，实数a的取值范围是（－∞，－2］∪［ ，1）.
培养能力
6.（理）已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b≥0，c∈R）.
若f（x）的定义域为［－1，0］时，值域也是［－1，0］，符合上述条的函数f（x）是否存在？若存在，求出f（x）的表达式；若不存在，请说明理由.
解：设符合条的f（x）存在，
∵函数图象的对称轴是x=－ ，
又b≥0，∴－ ≤0.
①当－ ＜－ ≤0，即0≤b＜1时，
函数x=－ 有最小值－1，则
或 （舍去）.
②当－1＜－ ≤－ ，即1≤b＜2时，则
（舍去）或 （舍去）.
③当－ ≤－1，即b≥2时，函数在［－1，0］上单调递增，则 解得
综上所述，符合条的函数有两个，
f（x）=x2－1或f（x）=x2+2x.
（）已知二次函数f（x）=x2+（b+1）x+c（b≥0，c∈R）.
若f（x）的定义域为［－1，0］时，值域也是［－1，0］，符合上述条的函数f（x）是否存在？若存在，求出f（x）的表达式；若不存在，请说明理由.
解：∵函数图象的对称轴是
x=－ ，又b≥0，∴－ ≤－ .
设符合条的f（x）存在，
①当－ ≤－1时，即b≥1时，函数f（x）在［－1，0］上单调递增，则

②当－1＜－ ≤－ ，即0≤b＜1时，则
（舍去）.
综上所述，符合条的函数为f（x）=x2+2x.
7.已知函数f（x）=x+ 的定义域为（0，+∞），且f（2）=2+ .设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为、N.

（1）求a的值.
（2）问：P•PN是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.
（3）设O为坐标原点，求四边形OPN面积的最小值.
解：（1）∵f（2）=2+ =2+ ，∴a= .
（2）设点P的坐标为（x0，y0），则有y0=x0+ ，x0＞0，由点到直线的距离公式可知，P= = ，PN=x0，∴有P•PN=1，即P•PN为定值，这个值为1.
（3）由题意可设（t，t），可知N（0，y0）.
∵P与直线y=x垂直，∴kP•1=－1，即 =－1.解得t= （x0+y0）.
又y0=x0+ ，∴t=x0+ .
∴S△OP= + ，S△OPN= x02+ .
∴S四边形OPN=S△OP+S△OPN= （x02+ ）+ ≥1+ .
当且仅当x0=1时，等号成立.
此时四边形OPN的面积有最小值1+ .
探究创新
8.有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）.有人应用数学知识作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b）.
（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V1；
（2）由于上述设计存在缺陷（有所浪费），请你重新设计切、焊方法，使浪费减少，而且所得长方体容器的容积V2＞V1.

解：（1）设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4－2x，高为x，
∴V1=（4－2x）2•x=4（x3－4x2+4x）（0＜x＜2）.
∴V1′=4（3x2－8x+4）.
令V1′=0，得x1= ，x2=2（舍去）.
而V1′=12（x－ ）（x－2），
又当x＜ 时，V1′＞0；当 ＜x＜2时，V1′＜0，
∴当x= 时，V1取最大值 .
（2）重新设计方案如下：
如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图③，将图②焊成长方体容器.
新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V2=3×2×1=6，显然V2＞V1.
故第二种方案符合要求.

●思悟小结
1.函数知识可深可浅，复习时应掌握好分寸，如二次函数问题应高度重视，其他如分类讨论、探索性问题属热点内容，应适当加强.
2.数形结合思想贯穿于函数研究的各个领域的全部过程中，掌握了这一点，将会到函数问题既千姿百态，又有可循.
●教师下载中心
教学点睛
数形结合和数形转化是解决本问题的重要思想方法，应要求学生熟练掌握用函数的图象及方程的曲线去处理函数、方程、不等式等问题.
拓展题例
【例1】 设f（x）是定义在［－1，1］上的奇函数，且对任意a、b∈［－1，1］，当a+b≠0时，都有 ＞0.
（1）若a＞b，比较f（a）与f（b）的大小；
（2）解不等式f（x－ ）＜f（x－ ）；
（3）记P={xy=f（x－c）}，Q={xy=f（x－c2）}，且P∩Q= ，求c的取值范围.
解：设－1≤x1＜x2≤1，则x1－x2≠0，
∴ ＞0.
∵x1－x2＜0，∴f（x1）+f（－x2）＜0.
∴f（x1）＜－f（－x2）.
又f（x）是奇函数，∴f（－x2）=－f（x2）.
∴f（x1）＜f（x2）.
∴f（x）是增函数.
（1）∵a＞b，∴f（a）＞f（b）.
（2）由f（x－ ）＜f（x－ ），得
∴－ ≤x≤ .
∴不等式的解集为{x－ ≤x≤ }.
（3）由－1≤x－c≤1，得－1+c≤x≤1+c，
∴P={x－1+c≤x≤1+c}.
由－1≤x－c2≤1，得－1+c2≤x≤1+c2，
∴Q={x－1+c2≤x≤1+c2}.
∵P∩Q= ，
∴1+c＜－1+c2或－1+c＞1+c2，
解得c＞2或c＜－1.
【例2】已知函数f（x）的图象与函数h（x）=x+ +2的图象关于点A（0，1）对称.
（1）求f（x）的解析式；
（2）（）若g（x）=f（x）•x+ax，且g（x）在区间（0，2］上为减函数，求实数a的取值范围.
（理）若g（x）=f（x）+ ，且g（x）在区间（0，2］上为减函数，求实数a的取值范围.
解：（1）设f（x）图象上任一点坐标为（x，y），点（x，y）关于点A（0，1）的对称点（－x，2－y）在h（x）的图象上.
∴2－y=－x+ +2.
∴y=x+ ，即f（x）=x+ .
（2）（）g（x）=（x+ ）•x+ax，
即g（x）=x2+ax+1.
g（x）在（0，2］上递减 － ≥2，
∴a≤－4.
（理）g（x）=x+ .
∵g′（x）=1－ ，g（x）在（0，2］上递减，
∴1－ ≤0在x∈（0，2］时恒成立，
即a≥x2－1在x∈（0，2］时恒成立.
∵x∈（0，2］时，（x2－1）max=3，
∴a≥3.
【例3】在4月份（共30天），有一新款服装投放某专卖店销售，日销售量（单位：）f（n）关于时间n（1≤n≤30，n∈N*）的函数关系如下图所示，其中函数f（n）图象中的点位于斜率为5和－3的两条直线上，两直线的交点的横坐标为m，且第m天日销售量最大.

（1）求f（n）的表达式，及前m天的销售总数；
（2）按规律，当该专卖店销售总数超过400时，社会上流行该服装，而日销售量连续下降并低于30时，该服装的流行会消失.试问该服装在社会上流行的天数是否会超过10天？并说明理由.
解：（1）由图形知，当1≤n≤m且n∈N*时，f（n）=5n－3.
由f（m）=57，得m=12.
∴f（n）=
前12天的销售总量为
5（1+2+3+…+12）－3×12=354.
（2）第13天的销售量为f（13）=－3×13+93=54，而354+54＞400，
∴从第14天开始销售总量超过400，即开始流行.
设第n天的日销售量开始低于30（12＜n≤30），即f（n）=－3n+93＜30，解得n＞21.
∴从第22天开始日销售量低于30，
即流行时间为14号至21号.
∴该服装流行时间不超过10天.

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