高三数学章末综合测试题（6）平面向量、数系的扩充与复数的引入

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知向量a，b且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A．A，B，D　　B．A，B，C　　
C．B，C，D　　D．A，C，D
　解析　A　由题意BD→＝2a＋4b＝2AB→，故A，B，D共线．
2．设P是△ABC所在平面内的一点，BC→＋BA→＝2BP→，则(　　)
A．PA→＋PB→＝0 B．PC→＋PA→＝0
C．PB→＋PC→＝0 D．PA→＋PB→＋PC→＝0
　解析　B　因为BC→＋BA→＝2BP→，所以点P为线段AC的中点，故选B.
3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA→＋OB→＋OC→＝0，那么()
A.AO→＝OD→ B.AO→＝2OD→ C.AO→＝3OD→ D．2AO→＝OD→
解析　A　由2OA→＋OB→＋OC→＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故AO→＝OD→.
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，c＝5.若(a＋b)•c＝52，则a与c的夹角为(　　)
A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
　解析　C　a＋b＝(－1，－2)＝－a，所以a与c的夹角即a＋b与c的夹角的补角．
设a＋b与c的夹角为 θ，则cos θ＝a＋b•ca＋bc＝525×5＝12，故θ＝π3，则a与c的
夹角为2π3.
5．已知A( －3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设OC→＝
λOA→＋OB→(λ∈R)，则λ的值为(　　 )
A．1 B.13 C.12 D.23
　解析　A　如图 ，过C作CE⊥x轴于点E，则OE＝CE＝2，所
以OC→＝OE→＋OB→＝λOA→＋OB→，即OE→＝λOA→，所以(－2,0)＝
λ(－3,0)，故λ＝23.故选A.
6．(2011•湖南十二校联考)平面上有四个互异的点A、B、C、D，满足(AB→－BC→)•(AD→－CD→)
＝0，则三角形ABC是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
　解析　B　 (AB→－BC→)•(AD→－CD→)＝(AB→－BC→)•(AD→＋DC→)＝(AB→－BC→)•AC→＝(AB→－
BC→)•(AB→＋BC→)＝AB→2－BC→2＝0，故AB→＝BC→，即△ABC是等腰三角形．
7．(2011•杭州月考)已知定义在复数集C上的函数f(x)满足f(x)＝1＋x，　　x∈R，1－ix， x∉R，则
f(1＋i)＝(　　)
A．－2 B．0 C．2 D．2＋i
　解析　C　∵(1＋i)∉R，∴f(1＋i)＝(1－i)(1＋i)＝1－i2＝2.
8．如图所示，非零向量OA→＝a，OB→＝b，且BC⊥OA，C为垂足，若OC→＝λa(λ≠0)，
则λ＝(　　)

A.a•ba2　　　　　　 B.a•bab[]
C.a•bb2　　　　　　 D.aba•b
　解析　A　BC→⊥OA→，即BC→⊥OC→⇒(OC→－OB→)•OC→＝0⇒OC→2－OB→•OC→＝0，
即λ2a2－λa•b＝0，解得λ＝a•ba2.
9．(2011•济南一模)设a是实数，且a1＋i＋1－i2是实数，则a＝ (　　)
A.12 B．－1 C．1 D．2
　解析　B　因为a1＋i＋1－i2＝a1－i2＋1－i2＝a＋12－a＋12i是实数，所以a＝－1.
10．已知点A(－2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足PA→•PB→＝x2，则点P的轨迹是(　　)
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
　解析　D　∵PA→＝(－2－x，－y)，PB→＝(3－x，－y)，PA→•PB→＝x2，
∴(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，化简得y2＝x＋6.
11．已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，则向量a，b的夹角为(　　)
A.π6 B.π4 C.π3 D.π2
　解析　B　由a＝(1 ,1)，2a＋b＝(4,2)，得b＝(4,2)－2(1,1)＝(2,0)．设向量a，b的夹
角为θ，则cos θ＝a•bab＝222＝22，θ＝π4.
12．(2011•宝坻质量调查)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上，满足2OA→＋AB→＋AC→＝0(其
中O为坐标原点)，又AB→＝OA→，则向量BA→在向量BC→方向上的投影为(　　)
A．1 B．－1 C.12 D．－12
　解析　C　由2OA→＋AB→＋AC→＝(OA→＋AB→)＋(OA→＋AC→)＝OB→＋OC→＝0，得OB→＝－OC→，
即O，B，C三点共线．又AB→＝OA→＝1，故向量BA→在向量BC→方向上的投影为
BA→cosπ3＝12.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．设向量a与b的夹角为θ，a＝(3,3)，2b－a＝(－1,1)，则cos θ＝________.
　解析　∵a＝(3,3)，2b－a＝(－1,1)，∴b＝(1,2)，
∴cos θ＝a•bab＝932×5＝31010.
【答案】　31010
14．如果复数z＝2－bi1＋i(b∈R)的实部和虚部互为相反数，则b的值等于________．
　解析　z＝2－bi1－i1＋i1－i＝2－b2－2＋b2i，由2－b2＝2＋b2，得b＝0.
【答案】　0
15．(2011•宣城调研)已知i是虚数单位，复数z满足iz＋i＝2－i，则z＝________.
　解析　由题意得，z＝i2－i－i＝i2＋i5－i＝－15－35i.
【答案】　－15－35i
16．对于n个向量a1，a2，…，an，若存在n个不全为零的实数k1，k2，…，kn，使得k1a1＋k2a2＋…＋knan＝0成立，则称向量a1，a2，…，an是线性相关的．按此规定，能使向量a1＝(1,0)，a2＝(1，－1)，a3＝(2,2)是线性相关的实数k1，k2，k3的值依次为________(只需写出一组值即可)．
　解析　根据线性相关的定义，
得k1(1,0)＋k2(1，－1)＋k3(2,2)＝0⇒k1＋k2＋2k3＝0，－k2＋2k3＝0，
令k3＝1，则k2＝2，k1＝－4，∴k1，k2，k3的一组值为－4,2,1.
【答案】　－4,2,1
三、解答题(本大题共6小题，共70 分．解答应写出字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分) 如图，在任意四边形ABCD中，E 为AD的中点，F为BC的中点，证明：
AB→＋DC→＝2EF→.

　 解析　因为F为BC的中点，所以BF→＋CF→＝0，
连接AF，DF，则有AB→＋DC→＝AB→＋DC→＋BF→＋CF→＝
AB→＋BF→＋DC→＋CF→＝AF→＋DF→. 而AF→＝AE→＋EF→，DF→＝DE→＋EF→，
又E为AD的中点，所以AE→＋DE→＝0.
所以AF→＋DF→＝AE→＋EF→＋DE→＋EF→＝2EF→，所以AB→＋DC→＝2EF→.
18．(12分)计算下列各式的值：
(1)2i1＋i2； (2)2＋4i1＋i2； (3)1＋i1－i＋i3.
　解析　(1)2i1＋i2＝4i21＋i2＝－42i＝2i.
(2)2＋4i1＋i2＝2＋4i2i＝2－i.
(3)1＋i1－i＋i3＝1＋i21－i1＋i＋i3＝2i2＋i3＝i－i＝0.
19．(12分)已知△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.
　解析　建立如图所示的直角坐标系，

设A(a,0)，则B(0，a)，E(x，y)．
∵D是BC的中点，∴D0，a2.
又∵AE→＝2EB→， 即(x－a，y)＝2(－x，a－y)，
∴x－a＝－2x，y＝2a－2y，解得x＝a3，y＝23a.
∵AD→＝0，a2－(a,0)＝－a，a2， OE→＝CE→＝a3，23a，
∴AD→•CE→＝－a×a3＋23a×a2＝0. ∴AD→⊥CE→，即AD⊥CE.
20．(12分)已知点A(2,0)、B(0,2)、C(cos α，sin α)，O为坐标原点，且0＜α＜π.
(1)若OA→＋OC→＝7，求OB→与OC→的夹角；
(2)若AC→⊥BC→，求tan α的值．
　解析　(1)由已知可得OA→＝(2,0)，
OC→＝(cos α，sin α)，且OA→＋OC→＝7，
∴2＋cos α2＋sin2α＝7，化简得cos α＝12，
∵0＜α＜π，∴sin α＝32，∴OC→＝12，32.
又∵OB→＝(0,2)，∴cos〈OB→，OC→〉＝OB→•OC→OB→OC→＝32.
又∵〈OB→，OC→〉∈[0，π]，∴〈OB→，OC→〉＝π6.
(2)AC→＝(cos α－2，sin α)，BC→＝(cos α，sin α－2)，
由AC→⊥BC→，得(cos α－2，sin α)•(cos α，sin α－2)＝0，
即(cos α－2)cos α＋sin α(sin α－2)＝0，
化简得，sin α＋cos α＝12，
∴sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝14，①
∴sin2α＋cos2α＋2sin αcos αsin2α＋cos2α＝14，
即3tan2α＋8tan α＋3＝0，解得tan α＝－4±73.
由①得，sin αcos α＝－38＜0且0＜α＜π，∴π2＜α＜π，又sin α＞cos α，∴tan α＝－4＋73.
21．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知 圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B.
(1)求k的取值范围；
(2)是否存在常数k，使得向量OA→＋OB→与PQ→共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
　解析　(1)圆的方程 可写成(x－6)2＋y2＝4，
所以圆心为Q(6,0)，过P(0,2)且斜率为k的直线方程为y＝kx＋2，代入圆的方程得
x2＋(kx＋2)2－12x＋32＝0，
整理，得(1＋k2)x2＋4(k－3)x＋36＝0.①
直线与圆交于两个不同的点A、B等价于
Δ＝[4(k－3)]2－4×36(1＋k2)＝16(－8k2－6k)＞0，
解得－34＜k＜0，
即k的取值范围为－34，0.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则OA→＋OB→＝(x1＋x2，y1＋y2)，
由方程①得，x1＋x2＝－4k－31＋k2.②
又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4，③
而P(0,2)，Q(6,0)，PQ→＝(6，－2)，
∴OA→＋OB→与PQ→共线等价于－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)．
将②③代入上式，解得k＝－34，
又k∈－34，0，∴不存在符合题意的常数k.
22．(12分)已知向量a＝cos32x，sin32x，b＝cosx2，－sinx2，且x∈－π3，π4.
(1)求a•b及a＋b；
(2)若f(x)＝a•b－a＋b，求f(x)的最大值和最小值．
　解析　(1)a•b＝cos32xcosx2－sin32xsinx2＝cos 2x，a＋b＝2＋2cos 2x＝2cos x，
∵x∈－π3，π4，∴cos x>0.∴a＋b＝2cos x.
(2)f(x)＝cos 2x－2cos x＝2cos2x－2cos x－1
＝2cos x－122－32.
∵x∈－π3，π4，∴12≤cos x≤1.
∴当cos x＝12时，f(x)取得最小值－32；
当cos x＝1时，f(x)取得最大值－1.

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