年高考数学总复习 8-4 椭圆但因为测试 新人教B版

1.()(2011•东莞模拟)设P是椭圆x225＋y216＝1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则PF1＋PF2等于(　　)
A．4　　 　　B．5
C．8　　 　　D．10
[答案]　D
[解析]　∵a2＝25，∴a＝5，∴PF1＋PF2＝2a＝10.
(理)(2011•浙江五校联考)椭圆x216＋y27＝1的左、右焦点分别为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为(　　)
A．32　 　 　B．1 6
C．8　　 　　D．4
[答案]　B
[解析]　由题设条件知△ABF2的周长为AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4a＝16.
2．()(2011•岳阳月考)椭圆x29＋y24＋k＝1的离心率为45，则k的值为(　　)
A．－21 B．21
C．－1925或21 D.1925或21
[答案]　C
[解析]　若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝5－k，由ca＝45即5－k3＝45，得k＝－1925；若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝k－5，
由ca＝45，即k－54＋k＝45，解得k＝21.
(理)(2011•广东省江门市模拟)已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B1、B2，焦点为F1、F2，若四边形B1F1B2F2是正方形，则这个椭圆的离心率e等于(　　)
A.22 B.12
C.32 D．以上都不是
[答案]　A
[解析]　画出草图(图略)，根据题意可得e＝ca＝cos45°＝22，故选A.
3．“>n >0”是“方程x2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　C
[解析]　∵方程x2＋ny2＝1，即x21＋y21n＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴需有：1>01n>01<1n，
∴>n>0，故互为充要条件．
4．()(2011•抚顺六校检测)椭圆x24＋y2＝1的焦点为F1，F2，点在椭圆上，F1→•F2→＝0，则到y轴的距离为(　　)
A.233 B.263
C.33 D.3
[答案]　B
[分析]　条件F1→•F2→＝0，说明点在以线段F1F 2为直径的圆上，点又在椭圆上，通过方程组可求得点的坐标，即可求出点到y轴的距离．
[解析]　椭圆的焦点坐标是(±3，0)，点在以线段F1F2为直径的圆上，该圆的方程是x2＋y2＝3，即y2＝3－x2，代入椭圆得x24＋3－x2＝1，解得x2＝83，即x＝263，此即点到y轴的距离．
[点评]　满足F→•B→＝0(其中A，B是平面上两个不同的定点)的动点的轨迹是以线段AB为直径的圆．
(理)(2011•河北石家庄一模)已知椭圆x216＋y225＝1的焦点分别是F1，F2，P是椭圆上一点，若连接F1，F2，P三点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是(　　)
A.165 B．3
C.163 D.253
[答案]　A
[解析]　F1(0，－3)，F2(0,3)，∵3<4，
∴∠F1F2P＝90°或∠F2F1P＝90°.
设P(x,3)，代入椭圆方程得x＝±165.
即点P到y轴的距离是165.
5．()(2011•东淄博重点中学期中)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆方程为(　　)
A.x2144＋y2128＝1 B.x236＋y220＝1
C.x232＋y236＝1 D.x236＋y232＝1
[答案]　D
[解析]　2a＝12，∴a＝6，∵e＝ca＝13，
∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，故选D.
(理)(2011•长沙模拟)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是(　　)
A.x24＋y23＝1 B.x216＋y212＝1
C.x24＋y2＝1 D.x216＋y24＝1
[答案]　A
[解析]　由x2＋y2－2x－15＝0得，(x－1)2＋y2＝16，
∴r＝4，∴2a＝4，∴a＝2，
∵e＝ca＝12，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.故选A.
6．()(2011•银川二模)两个正数a、b的等差中项是52 ，等比中项是6，且a>b，则椭圆x2a2＋y2b2＝1的离心率e等于(　　)
A.32 B.133
C.53 D.13
[答案]　C
[解析]　由题意可知a＋b＝5a•b＝6，又因为a>b，
所以解得a＝3b＝2，所以椭圆的半焦距为c＝5，
所以椭圆的离心率e＝ca＝53，故选C.
(理)(2011•杭州二检、江西七校联考)如下图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③c1a2>a1c2；④c1a1<c2a2.其中正确式子的序号是(　　)

A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
[答案]　B
[解析]　给出图形的题目，要充分利用图形提供的信息解题．
∵P点既在椭圆Ⅰ上，又在椭圆Ⅱ上，且F是椭圆Ⅰ和Ⅱ的同一侧的焦点，∴PF＝a－c，
即a1－c1＝a2－c2，故②正确；
由a1－c1＝a2－c2得a1－a2＝c1－c2，c1＝a1－a2＋c2，
∴c1a2－a1c2＝(a1－a2＋c2)a2－a1c2＝(a1－a2)a2＋(a2－a1)c2＝(a1－a2)(a2－c2)，
又∵从图中可以看出，a1>a2，a2>c2，∴c1a2－a1c2>0，即c1a2>a1c2，故③正确，故选B.
7．()(2011•南京模拟)已知P是以F1，F2为焦点的椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上的一点，若PF1→•PF2→＝0，tan∠PF1F2＝12，则此椭圆的离心率为________．
[答案]　53
[解析]　∵PF1→•PF2→＝0，∴PF1⊥PF2，
在Rt△PF1F2中，tan∠PF1F2＝PF2PF1＝12，
设PF2＝x，则PF1＝2x，
由椭圆的定义PF1＋PF2＝2a，∴x＝2a3，
∵PF12＋PF22＝F1F22，∴x2＋4x2＝4c2，
∴209a2＝4c2，∴e＝ca＝53.
(理)已知1＋2n＝1(>0，n>0)，则当n取得最小值时，椭圆x22＋y2n2＝1的离心率是________．
[答案]　32
[解析]　∵>0，n>0
∴1＝1＋2n≥22n，
∴n≥8，当且仅当1＝2n，即n＝2时等号成立，
由n＝2n＝8，解得＝2，n＝4.
即当＝2，n＝4时，n取得最小值8，
∴离心率e＝n2－2n ＝32.
8．()已知实数k使函数y＝coskx的周期不小于2，则方程x23＋y2k＝1表示椭圆的概率为________．
[答案]　12
[解析]　由条件2πk≥2，∴－π≤k≤π，
当0<k≤π且k≠3时，方程x23＋y2k＝1表示椭圆，
∴概率P＝12.
(理)(2010•深圳市调研)已知椭圆：x2a2＋y2b2＝1(a>0，b>0)的面积为πab，包含于平面区域Ω：x≤2y≤3内，向Ω内随机投一点Q，点Q落在椭圆内的概率为π4，则椭圆的方程为________．
[答案]　x24＋y23＝1
[解析]　平面区域Ω：x≤2y≤3是一个矩形区域，如下图所示，

依题意及几何概型，可得πab83＝π4，
即ab＝23.
因为0<a≤2,0<b≤3，
所以a＝2，b＝3.
所以，椭圆的方程为x24＋y23＝1.
9．(2011•湖南长沙一中月考)直线l：x－y＝0与椭圆x22＋y2＝1相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为_ _______．
[答案]　2
[解析]　设与l平行的直线方程为x－y＋a＝0，当此直线与椭圆的切点为C时，△ABC的面积最大，将y＝x＋a代入x22＋y2＝0中整理得，3x2＋4ax＋2(a2－1)＝0，由Δ＝16a2－24(a2－1)＝0得，a＝±3，两平行直线x－y＝0与x－y＋3＝0的距离d＝62，将y＝x代入x22＋y2＝1中得，x1＝－63，x2＝63，
∴AB＝1＋163－(－63) ＝433，
∴S△ABC＝12AB•d＝12×433×62＝2.
10．()(2010•新标全国)设F1、F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0<b<1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且AF2、AB、BF2成等差数列．
(1)求AB；
(2)若直线l的斜率为1，求b的值．
[解析]　(1)由椭圆定义知AF2＋AB＋BF2＝4，
又2AB＝AF2＋BF2，得AB＝43.
(2)l的方程为y＝x＋c，其中c＝1－b2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组
y＝x＋c，x2＋y2b2＝1.
化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.
则x1＋x2＝－2c1＋b2，x1x2＝1－2b21＋b2.
因为直线AB的斜率为1，所以AB＝2x2－x1，
即43＝2x2－x1.
则89＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝41－b21＋b22－41－2b21＋b2＝8b41＋b22.
解得b＝22.
(理)(2011•北京，19)已知椭圆G：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△PAB的面积．
[解析]　(1)由已知得，c＝22，ca＝63，
解得a＝23，
又b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆G的方程为x212＋y24＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋
由y＝x＋.x212＋y24＝1得
4x2＋6x＋32－12＝0. ①
设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB中点为E(x0，y0)，则
x0＝x1＋x22＝－34，
y0＝x0＋＝4.
因为AB是等腰△PAB的底边，
所以PE⊥AB，
所以PE的斜率k＝2－4－3＋34＝－1.
解得＝2，
此时方程①为4x2＋12x＝0，
解得x1＝－3，x2＝0，
所以y1＝－1，y2＝2，所以AB＝32，
此时，点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝－3－2＋22＝322，
所以△PAB的面积S＝12AB•d＝92.

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