教案17 函数的奇偶性与周期性
一、前检测
1. 下列函数中，在其定义域内即是奇函数又是减函数的是（ A ）
A． B． C． D．

2. （08辽宁）若函数 为偶函数，则 （ C ）
A． B． C． D．

3. 已知 在R上是奇函数，且 ( A )
A. B.2 C.-98 D.98

二、知识梳理
1．函数的奇偶性：
（1）对于函数 ，其定义域关于原点对称：
如果______________________________________，那么函数 为奇函数；
如果______________________________________，那么函数 为偶函数.
（2）奇函数的图象关于__________对称，偶函数的图象关于_________对称.
（3）奇函数在对称区间的增减性 ；偶函数在对称区间的增减性 .
（4）若奇函数 在 处有定义，则必有
解读：

2．函数的周期性
对于函数 ，如果存在一个非零常数T，使得当 取定义域内的每一个值时，都有 ，则 为周期函数，T为这个函数的周期.
解读：

3．与函数周期有关的结论：
①已知条中如果出现 、或 （ 、 均为非零常数， ），都可以得出 的周期为 ；
② 的图象关于点 中心对称或 的图象关于直线 轴对称，均可以得到 周期
解读：
三、典型例题分析
例1 判断下列函数的奇偶性：
（1） 答案：定义域不关于原点对称，非奇非偶

（2）
解：定义域为：
所以 ，是奇函数。

（3）
解法一：当 ， ，
当 ， ，
所以，对 ，都有 ，
所以 是偶函数
解法二：画出函数图象
解法三： 还可写成 ，故为偶函数。

（4）
解：定义域为 ，对 ，都有 ，
所以既奇又偶

变式训练：判断函数 的奇偶性。
解：当 时， 是偶函数
当 时， ，即 ，
且 ，
所以非奇非偶

小结与拓展：几个常见的奇函数：
（1） （2） （3） （4）

小结与拓展：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条

例2 已知定义在 上的函数 ，当 时，
（1）若函数 是奇函数，当 时，求函数 的解析式；答案：

（2）若函数 是偶函数，当 时，求函数 的解析式；答案：


变式训练：已知奇函数 ，当 时， ，求函数 在R上的解析式；
解：函数 是定义在R上的奇函数，
，
当 时， ，
，

小结与拓展：奇偶性在求函数解析式上的应用

例3 设函数 是定义在R上的奇函数，对于 都有 成立。
（1）证明 是周期函数，并指出周期；
（2）若 ，求 的值。
证明：（1）

所以， 是周期函数，且
（2） ，

变式训练1：设 是 上的奇函数， ，当 时， ，
则 等于 ( B )
A . 0.5 B. C. 1.5 D.

变式训练2：（06安徽）函数 对于任意实数 满足条 ，若
则 __________。
解：由 得 ，所以 ，
则 。

小结与拓展：只需证明 ，即 是以 为周期的周期函数

四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）
1.知识：
2.思想与方法：
3.易错点：
4.反思（不足并查漏）：

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