教案30 导数的概念、性质与运算（1）
一、前检测
1.函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝( B )
A． B． C． D．1

2.若 ，则 答案：

3．在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+△x,2+△y)，则 为（ C ）
A.△x+ +2 B.△x－ －2 C.△x+2 D.2+△x－

4．已知两曲线 和 都经过点P（1,2），且在点P处有公切线，试求a,b,c值。
答案：

二、知识梳理
1.平均变化率：函数 在 上的平均变化率为 ，若 ，
,则平均变化率可表示为 .
解读：

2.导数的概念：设函数 在区间 上有定义， 当 无限接近于0时，比值
无限趋近于一个常数 ，则称 在点 处可导，并称常数 为函数 在 处的 ，记作 .
解读：

3.导数的几何意义：函数 在点 处的导数 的几何意义就是曲线 在点 处的 .

4.常见函数的导数：
基本初等函数的导数公式
原函数导函数

=

解读：

5.导数运算法则
（1） = ；（2） = ；
（3） =
解读：

6.简单复合函数的导数：
若 ，则 ，即 .
解读：

三、典型例题分析
例1求下列函数的导数：
(1)y=(2x2-1)(3x+1) 答案：

(2) 答案：

(3) 答案：

(4) 答案：

（5）y= 答案：
变式训练：设 求 . 答案：

小结与拓展：一定要熟记导数公式及求导法则，它是导数问题的基础。

导数的几何意义：
例2 已知曲线 。
（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程；
（3）求曲线斜率为4的切线方程。
简答：在点P（2，4）处的切线与过点P（2，4）的切线的意义是不同的，（1）点P（2，4）是切点，在点P（2，4）处的切线斜率就是函数在该点处的导数，由点斜式可得切线方程4x-y-4=0。（2）点P（2，4）可以不是切点，因P（2，4）在曲线上，当然也可以是切点，所以（2）的答案应包含4x-y-4=0，另外过点P（2，4），可能存在的切线可有如下求法：设切点Q ，则切线PQ的斜率 ，所以，由斜率公式得
，整理得 ，为因式分解添加项得 ，即 ，解得除 之外的解 ，于是，k= ，得x-y+2=0.
（3）已知切线斜率为4，即 =4，所以， 或-2，得切点（2，4）和（-2， ），
于是，斜率为4的切线方程为4x-y-4=0和12x-3y+20=0.

变式训练：曲线 的切线中，求斜率最小的切线方程. 答案：

小结与拓展：本题的各小题都是考查导数的几何意义的，导数的几何意义是曲线在该点处的切线的斜率.注意“在”与“过”的区别。

例3 曲线 上有两点A（4，0）、B（2，4）.求：
（1）割线AB的斜率kAB及AB所在直线的方程；
（2）在曲线AB上是否存在点C，使过C点的切线与AB所在直线平行?若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）kAB= =－2，
∴y=－2（x－4）.
∴所求割线AB所在直线方程为2x+y－8=0.
（2） =－2x+4，－2x+4=－2，得x=3，y=－32+3×4=3.
∴C点坐标为（3，3），所求切线方程为2x+y－9=0.

变式训练：已知曲线y=x2－1与y=3－x3在x=x0处的切线互相垂直，求x0. 答案：
解：在x=x0处曲线y=x2－1的切线斜率为2x0，曲线y=3－x3的切线斜率为－3x02.
∵2x0•（－3x02）=－1，∴x0= .

四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）
1.知识：
2.思想与方法：
3.易错点：
4.反思（不足并查漏）：

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