7.2 两条直线的位置关系
巩固•夯实基础
一、自主梳理
1.点和直线的位置关系
设P(x0,y0),l:Ax+By+C=0,则
(1)点P在直线l上 Ax0+By0+C=0;
(2)点P不在直线l上 Ax0+By0+C≠0，这时P到直线l的距离d= .
2.直线与直线的位置关系
(1)有斜率的两直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1∥l2 k1=k2;l1⊥l2 k1•k2=-1;l1与l2相交 k1≠k2.
(2)若两直线为l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1∥l2 A1B2-A2B1=0;l1⊥l2 A1A2+B1B2=0.
3.到角与夹角
(1)l1到l2的角:l1绕交点按逆时针方向旋转到l2所成的角.且tanθ= (k1k2≠-1).
(2)l1与l2的夹角为θ，则θ∈［0, ］,且tanθ= (k1k2≠-1).
二、点击双基
1.三直线ax+2y+8=0,4x+3y=10,2x-y=10相交于一点,则a的值是（ ）
A.-2 B.-1 C.0 D.1
解析：解方程组
得交点坐标为(4,-2),
代入ax+2y+8=0,得a=-1.
答案：B
2.直线x+y-1=0到直线xsinα+ycosα-1=0( ＜α＜ ＝的角是（ ）
A.α- B. -α C.α- D. -α
解析：由tanθ=
= =tan( -α)=tan( -α),
∵ ＜α＜ ,- ＜ -α＜0,
＜ -α＜π,
∴θ= -α.
答案：D
3.若直线l:x+ay+2=0平行于直线2x-y+3=0，则直线l在两坐标轴上截距之和是( )
A.6 B.2 C.-1 D.-2
解析：由l与2x-y+3=0平行得 =
∴a=- ，即l:x- y+2=0.
令x=0,得y=4.令y=0,得x=-2.
x+y=-2+4=2.
答案：B
4.若直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a-1)y+(a2-1)=0平行且不重合，则a的值是___________.
解析：利用两直线平行的条.
答案：-1
5.在过点(2,1)的所有直线中，距原点最远的直线方程是________________________________.
解析：距原点距离最远则原点在直线上的射影为(2,1)，∴k=- =-2.
∴y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.
答案：2x+y-5=0
诱思•实例点拨
【例1】 等腰三角形一腰所在直线l1的方程是x-2y-2=0，底边所在直线l2的方程是x+y-1=0，点(-2,0)在另一腰上，求该腰所在直线l3的方程.
剖析：用到角公式求出l3的斜率，再用点斜式可求l3的方程.
解：设l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，l1到l2的角是θ1，l2到l3的角是θ2，则k1= ,k2=-1，tanθ1= = =-3.
∵l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形，
∴θ1=θ2，tanθ1=tanθ2=-3，
即 =-3, =-3,解得k3=2.
又∵直线l3经过点(-2,0),
∴直线l3的方程为y=2(x+2)，
即2x-y+4=0.
讲评：本题根据条作出合理的假设θ1=θ2，而后利用直线到直线所成角的公式，最后利用点斜式，求出l3的方程.
链接•提示
用夹角公式会产生什么问题，怎样去掉增解呢？
【例2】 已知两直线l1：x+ｍ2y+6=0，l2：（ｍ-2）x+3ｍy+2ｍ=0，当ｍ为何值时，l1与l2
(1)相交；(2)平行；(3)重合?
剖析：依据两直线位置关系判断方法便可解决.
解：当m=0时，l1：x+6=0，l2：x=0，
∴l1∥l2.
当m=2时，l1：x+4y+6=0，l2：3y+2=0，
∴l1与l2相交.
当ｍ≠0且ｍ≠2时，由 = 得m=-1或m=3，由 = 得ｍ=3.
故(1)当ｍ≠-1，ｍ≠3且ｍ≠0时，l1与l2相交；
(2)当ｍ=-1或ｍ=0时，l1∥l2；
（3）当ｍ=3时，l1与l2重合.
讲评：对这类问题，要从直线有斜率、没有斜率两个方面进行分类讨论.
【例3】 当m为何值时，三条直线l1:4x+y=4,l2:mx+y=0,l3:2x-3my=4不能构成三角形？
剖析：三条直线不能构成三角形的情况：①有两条直线平行；②三条直线相交于一点.
解：当l1∥l2时，m=4.
当l1∥l3时， = ,即m=- .
当l2∥l3时， = ,无解.
当l1,l2,l3相交于一点时，
由 得交点A( , ).
∴A点在l3上，即 -3m• =4.
解得m= 或m=-1.
综上，当m=-1,- , ,4时三条直线不能构成三角形.
链接•拓展
当m为何值时，三条直线l1:4x+y=4,l2:mx+y=0,l3:2x-3my=4构成直角三角形？
提示：当两条直线垂直且第三条直线与另两条直线不平行，不共点即可.
答案：- 或0或
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