2015年全国各地高考文科数学试题分类汇编9：圆锥曲线
一、
1 ．（2015年高考湖北卷（文））已知 ,则双曲线 : 与 : 的（ ）
A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
【答案】D
2 ．（2015年高考四川卷（文））从椭圆 上一点 向 轴作垂线,垂足恰为左焦点 , 是椭圆与 轴正半轴的交点, 是椭圆与 轴正半轴的交点,且 ( 是坐标原点),则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
3 ．（2015年高考课标Ⅱ卷（文））设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线L过F且与C交于A, B两点.若AF=3BF,则L的方程为（ ）
A．y=x-1或y=-x+1B．y= (X-1)或y=- (x-1)
C．y= (x-1)或y=- (x-1)D．y= (x-1)或y=- (x-1)
【答案】C
4 ．（2015年高考课标Ⅰ卷（文）） 为坐标原点, 为抛物线 的焦点, 为 上一点,若 ,则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
5 ．（2015年高考课标Ⅰ卷（文））已知双曲线 的离心率为 ,则 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
6 ．（ 2015年高考福建卷（文））双曲线 的顶点到其渐近线的距离等于（ ）
A． B． C．1D．
【答案】B
7 ．（2015年高考广东卷（文））已知中心在原点的椭圆C的右焦点为 ,离心率等于 ,则C的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
8 ．（2015年高考四川卷（文））抛物线 的焦点到直线 的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
9 ．（2015年高考课标Ⅱ卷（文））设椭圆 的左、右焦点分别为 是 上的点 ,则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
10．（2015年高考大纲卷（文））已知 且 则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
11．（2015年高考辽宁卷（文））已知椭圆 的左焦点为F 两点,连接了 ,若 ,则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
12．（2015年高考重庆卷（文））设双曲线 的中心为点 ,若有且只有一对相较于点 、所成的角为 的直线 和 ,使 ,其中 、 和 、 分别是这对直线与双曲线 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是zhangwlx（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
13．（2015年高考大纲卷（文））已知抛物线 与点 ,过 的焦点且斜率为 的直线与 交于 两点,若 ,则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
14．（2015年高考北京卷（文））双曲线 的离心率大于 的充分必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
15．（2015年上海高考数学试题（文科））记椭圆 围成的区域(含边界)为 ,当点 分别在 上时, 的最大值分别是 ,则 （ ）
A．0B． C．2D．
【答案】D
16．（2015年高考安徽（文））直线 被圆 截得的弦长为（ ）
A．1B．2C ．4D．
【答案】C
17．（2015年高考江西卷（文））已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点,与其准线相交于点N,则F:N=（ ）
A．2: B．1:2C．1: D．1:3
【答案】C
18．（2015年高考山东卷（文））抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点的连线交 于第一象限的点,若 在点处的切线平行于 的一条渐近线,则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
19．（2015年高考浙江卷（文））如图F1.F2是椭圆C1:x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点（ ）
A．B分别是C1.C2在第二.四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是
（ ）
A． 2B． 3C．32D． 62
【答案】D．
二、题
20．（2015年高考湖南（文））设F1,F2是双曲线C, (a>0,b>0)的两个焦点.若在C上存在一点P.使
PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则C的离心率为____ _______.
【答案】
21．（2015年高考陕西卷（文））双曲线 的离心率为________.
【答案】
22．（2015年高考辽宁卷（文））已知 为双曲线 的左焦点, 为 上的点,若 的长等于虚轴长的2倍,点 在线段 上,则 的周长为____________.
【答案】44
23．（2015年上海高考数学试题（文科））设 是椭圆 的长轴,点 在 上,且 .若 , ,则 的两个焦点之间的距离为_______.
【答案】
24．（2015年高考北京卷（文））若抛物线 的焦点坐标为(1,0)则 =____;准线方程为_____.
【答案】2,
25．（2015年高考福建卷（文））椭圆 的左、右焦点分别为 ,焦距为 .若直线 与
椭圆 的一个交点 满足 ,则该椭圆的离心率等于__________
【答案】
26．（2015年高考天津卷（文））已知抛物线 的准线过双曲线 的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为______.
【答案】
三、解答题
27．（2015年高考浙江卷（文））已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点F(0,1)
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ) 过点F作直线交抛物线C于A.B两点.若直线AO.BO分别交直线l:y=x-2于.N两点,
求N的最小值.
【答案】解:(Ⅰ)由已知可得抛物线的方程为: ,且 ,所以抛物线方程是: ;
(Ⅱ)设 ,所以 所以 的方程是: ,
由 ,同理由
所以 ①
设 ,由 ,
且 ,代入①得到:
,
设 ,
①当 时
,所以此时 的最小值是 ;
②当 时,
,所以此时 的最小值是 ,此时 , ;
综上所述: 的最小值是 ;
28．（2015年高考山东卷（文））在平面直角坐标系 中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在 轴上,短轴长为2,离心率为
(I)求椭圆C的方程
(II)A,B为椭圆C上满足 的面积为 的任意两点,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C与点P,设 ,求实数 的值.
【答案】
将 代入椭圆方程 ,得
29．（2015年高考广东卷（文））已知抛物线 的顶点为原点,其焦点 到直线 的距离为 .设 为直线 上的点,过点 作抛物线 的两条切线 ,其中 为切点.
(1) 求抛物线 的方程;
(2) 当点 为直线 上的定点时,求直线 的方程;
(3) 当点 在直线 上移动时,求 的最小值.
【答案】(1)依题意 ,解得 (负根舍去)
抛物线 的方程为 ;
(2)设点 , , ,
由 ,即 得 .
∴抛物线 在点 处的切线 的方程为 ,
即 .
∵ , ∴ .
∵点 在切线 上, ∴ . ①
同理, . ②
综合①、②得,点 的坐标都满足方程 .
∵经过 两点的直线是唯一的,
∴直线 的方程为 ,即 ;
(3)由抛物线的定义可知 ,
所以
联立 ,消去 得 ,
当 时, 取得最小值为
30．（2015年上海高考数学试题（文科））本题共有3个小题.第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.
如图,已知双曲线 : ,曲线 : . 是平面内一点,若存在过点 的直线与 、 都有公共点 ,则称 为“ 型点”.
(1)在正确证明 的左焦点是“ 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);
(2)设直线 与 有公共点,求证 ,进而证明原点不是“ 型点;
(3)求证:圆 内的点都不是“ 型点”.
【答案】
31．（2015年高考福建卷（文））如图,在抛物线 的焦点为 ,准线 与 轴的交点为 .点 在抛物线 上,以 为圆心 为半径作圆,设圆 与准线 的交于不同的两点 .
(1)若点 的纵坐标为2,求 ;
(2)若 ,求圆 的半径.
【答案】解:(Ⅰ)抛物线 的准线 的方程为 ,
由点 的纵坐标为 ,得点 的坐标为
所以点 到准线 的距离 ,又 .
所以 .
(Ⅱ)设 ,则圆 的方程为 ,
即 .
由 ,得
设 , ,则:
由 ,得
所以 ,解得 ,此时
所以圆心 的坐标为 或
从而 , ,即圆 的半径为
32．（2015年高考北京卷（文））直线 ( ) : 相交于 , 两点, 是坐标原点
(1)当点 的坐标为 ,且四边形 为菱形时,求 的长.
(2)当点 在 上且不是 的顶点时,证明四边形 不可能为菱形.
【答案】解:(I)因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分.
所以可设 ,代入椭圆方程得 ,即 . 所以AC= .
(II)假设四边形OABC为菱形.
因为点B不是 的顶点,且AC⊥OB,所以 .
由 ,消去 并整理得 .
设A ,C ,则 , .
所以AC的中点为( , ).
因为为AC和OB的交点,且 , ,所以直线OB的斜率为 .
因为 ,所以AC与OB不垂直. 所以OABC不是菱形, 与假设矛盾.
所以当点B不是W的顶点 时,四边形OABC不可能是菱形.
33．（2015年高考课标Ⅰ卷（文））已知圆 ,圆 ,动圆 与圆 外切并且与圆 内切,圆心 的轨迹为曲线 .
(Ⅰ)求 的方程;
(Ⅱ) 是与圆 ,圆 都相切的一条直线, 与曲线 交于 , 两点,当圆 的半径最长是,求 .
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑.
【答案】解:由已知得圆的圆心为(-1,0),半径 ;圆N的圆心为N(1,0),半径 .
设知P的圆心为P(x,y),半径为R.
(I)因为圆P与圆外切并且与圆N内切,所以
.
有椭圆的定义可知,曲线C是以,N为左.右焦点,长半轴长为2,短半轴长为 的椭圆(左定点除外),其方程为 .
(II)对于曲线C上任意一点 ,由于 ,所以R 2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2,所以当圆P的半径最长时,其方程为 ;
若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得 .
若l的倾斜角不为90°,则 知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,
则 ,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l于圆相切得 ,
解得k=± .
当k= 时,将y= x+ 代入 ,并整理得 ,
解得 .
当k= .
综上, .
34．（2015年高考陕西卷（文））已知动点(x,y)到直线l:x = 4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.
(Ⅰ) 求动点的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 过点P(0,3)的直线与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线的斜率.
【答案】解: (Ⅰ) 点(x,y)到直线x=4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍,则
.
所以,动点的轨迹为 椭圆,方程为
(Ⅱ) P(0, 3), 设
椭圆 经检验直线不经过这2点,即直线斜率k存在. .联立椭圆和直线方程,整理得:
所以,直线的斜率
35．（2015年高考大纲卷（文））已知双曲线 离心率为 直线
(I)求 ;
(II) 证明: 成等比数列
【答案】(Ⅰ)由题设知 ,即 ,故 .
所以C的方程为 .
将y=2代入上式,求得, .
由题设知, ,解得, .
所以 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, , ,C的方程为 . ①
由题意可设 的方程为 , ,代入①并化简得,
.
设 , ,则
, , , .
于是
,
由 得, ,即 .
故 ,解得 ,从而 .
由于 ,
,
故 ,
.
因而 ,所以 、 、 成等比数列.
36．（2015年高考天津卷（文））设椭圆 的左焦点为F, 离心率为 , 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若 , 求k的值.
【答案】
37．（2015年高考辽宁卷（文））如图,抛物线 ,点 在抛物线 上,过 作 的切线,切点为 ( 为原点 时, 重合于 ) ,切线 的斜率为 .
(I)求 的值;
(II)当 在 上运动时,求线段 中点 的轨迹方程.
【答案】
38．（2015年高考课标Ⅱ卷（文））在平面直角坐标系xOy中,己知圆P在x轴上截得线段长为2 ,在Y轴上截得线
段长为2 .
(Ⅰ)求圆心P的轨迹方程;
(Ⅱ)若P点到直线y=x的距离为 ,求圆P的方程.
【答案】
39．（2015年高考湖北卷（文））如图,已知椭圆 与 的中心在坐标原点 ,长轴均为 且在 轴上,短轴长分别
为 , ,过原点且不与 轴重合的直线 与 , 的四个交点按纵坐标从
大到小依次为A,B,C,D.记 ,△ 和△ 的面积分别为 和 .
(Ⅰ)当直线 与 轴重合时,若 ,求 的值;
(Ⅱ)当 变化时,是否存在与坐标轴不重合 的直线l,使得 ?并说明理由.
2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷
【答案】依题意可设椭圆 和 的方程 分别为
: , : . 其中 ,
(Ⅰ)解法1:如图1,若直线 与 轴重合,即直线 的方程为 ,则
, ,所以 .
在C1和C2的方程中分别令 ,可得 , , ,
于是 .
若 ,则 ,化简得 . 由 ,可解得 .
故当直线 与 轴重合时,若 ,则 .
解法2:如图1,若直线 与 轴重合 ,则
, ;
, .
所以 .
若 ,则 ,化简得 . 由 ,可解得 .
故当直线 与 轴重合时,若 ,则 .
(Ⅱ)解法1:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得 . 根据对称性,
不妨设直线 : ,
点 , 到直线 的距离分别为 , ,则
因为 , ,所以 .
又 , ,所以 ,即 .
由对称性可知 ,所以 ,
,于是
. ①
将 的方程分别与C1,C2的方程联立,可求得
, .
根据对称性可知 , ,于是
. ②
从而由①和②式可得
. ③
令 ,则由 ,可得 ,于是由③可解得 .
因为 ,所以 . 于是③式关于 有解,当且仅当 ,
等价于 . 由 ,可解得 ,
即 ,由 ,解得 ,所以
当 时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得 ;
当 时,存在与坐标轴不重合的直线l使得 .
解法2:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得 . 根据对称性,
不妨设直线 : ,
点 , 到直线 的距离分别为 , ,则
因为 , ,所以 .
又 , ,所以 .
因为 ,所以 .
由点 , 分别在C1,C2上,可得
, ,两式相减可得 ,
依题意 ,所以 . 所以由上式解得 .
因为 ,所以由 ,可解得 .
从而 ,解得 ,所以
当 时,不存在与坐标 轴不重合的直线l,使得 ;
当 时,存在与坐标轴不重合的直线l使得 .
40．（2015年高考重庆卷（文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分)
如题(21)图,椭圆的中心为原点 ,长轴在 轴上,离心率 ,过左焦点 作 轴的垂线交椭圆于 、 两点, .
(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;
(Ⅱ)取平行于 轴的直线与椭圆相较于不同的两点 、 ,过 、 作圆心为 的圆,使椭圆上的其余点均在圆 外.求 的面积 的最大值,并写出对应的圆 的标准方程.
【答案】
41．（2015年高考湖南（文））已知 , 分别是椭圆 的左、右焦点 , 关于直线 的对称点是圆 的一条直径的两个端点.
(Ⅰ)求圆 的方程;
(Ⅱ)设过点 的直线 被椭圆 和圆 所截得的弦长分别为 , .当 最大时,求直线 的方程.
【答案】解: (Ⅰ) 先求圆C关于直线x + y ? 2 = 0对称的圆D,由题知圆D的直径为 直线 对称 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 (2,0), ,据题可设直线 方程为: x = y +2,∈R. 这时直线 可被 圆和椭圆截得2条弦,符合题意.
圆C: 到直线 的距离 .
由椭圆的焦半径公式得:
.
所以当
42．（2015年高考安徽（文））已知椭圆 的焦距为4,且过点 .
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设 为椭圆 上一点,过点 作 轴的垂线,垂足为 .取点 ,连接 ,过点 作 的垂线交 轴于点 .点 是点 关于 轴的对称点,作直线 ,问这样作出的直线 是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由
【答案】解: (1)因为椭圆过点
且
椭圆C的方程是
(2)
由题意,各点的坐标如上图所示,
则 的直线方程:
化简得
又 ,
所以 带入
求得最后
所以直线 与椭圆只 有一个公共点.
43．（2015年高考江西卷（文））椭圆C: =1(a>b>0)的离心率 ,a+b=3
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点,设BP的斜率为k,N的斜率为,证明2-k为定值.
【答案】解: 所以 再由a+b=3得a=2,b=1,
①
将①代入 ,解得
又直线AD的方程为 ②
①与②联立解得
由 三点共线可角得
所以N的分斜率为= ,则 (定值)
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